Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Betrag

Question

Aufgabe:

Folgende Verständnisfrage: Wenn ich beispielsweise untersuchen soll, in welchen Punkten eine Funktion stetig ist und ich habe

f(x)= (|x|)/(4+x²) gegeben, dann muss ich für x=0 prüfen (wegen des Betrages) und ggf einen Wert, für den der Nenner 0 wird (was in dem Beispiel nicht passiert, richtig)? Oder muss man ausschließlich den Betrag prüfen?

Answer 1

In deinem Fall ist der Funktionsterm ja aus lauter rationalen Operationen

( + , - , * , : ) von stetigen Funktionen (Betrag ist überall stetig.) zusammengesetzt,

also auch überall stetig.

Differenzierbarkeit ist auch überall so zu begründen, außer an der Stelle,

bei der im Betrag 0 herauskommt, da die Betragsfunktion bei 0 ni8cht diffb. ist.

Also hier ist für x=0 eine besondere Betrachtung nötig.

Wenn im Nenner eine 0 entsteht, ist die Funktion dort

nicht definiert. Da kann man höchstens auf stetige

Ergänzbarkeit prüfen.

Comments

Verstanden, danke.

Answer 2

f (x) = abs(x) / (4+x^2)

Zur Diff-barkeit
für x ≥ 0 gilt
f (x) = x / (4+x^2)
für x < 0 gilt
f (x) = ( minus x ) / (4+x^2)

für x < 0 gilt
f ´ =  ( x^2 -4 ) / ( x^2 + 4 ) ^2
für x ≥ 0 gilt
f ´ = - ( x^2 -4 ) / ( x^2 + 4 ) ^2

Für die Nahtstelle x = 0 gilt
 ( 0^2 -4 ) / ( 0^2 + 4 ) ^2 = -( x^2 -4 ) / ( x^2 + 4 ) ^2
minus 4 / 16 = 4 / 16
Die Steigungen sind nicht gleich /
nicht differenzierbar