Gegeben ist die Funktion 1/9(x^4-4x^3)

Question

Ich muss die Nullstelle, Extrema und Wendepunkte herausfinden. Zusätzlich soll ich noch die Gleichung der Tangente im Punkt P(2/?) herausfinden. Ich habe angefangen zu rechnen komme aber nicht mehr weiter.

\( f(x)=\frac{1}{9}\left(x^{4}-4 x^{3}\right) \)

Nullstelle:

\( \frac{1}{9}\left(x^{4}-4 x^{3}\right)=0 \quad \frac{1}{9}=0 \)
\( x^{4}-4 x^{3}=0 \)
\( x^{4}=4 x^{3} \quad |: x^{3} \)
\( \boxed{x=4} \)
\( N(0 / 4) \)

\( f(x)=\frac{1}{9}\left(x^{4}-4 x^{3}\right) \)
\( f(x)=\frac{1}{9} x^{4}-\frac{4}{9} x^{3} \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{4}{9} x^{3}-\frac{4}{3} x^{2} \)
\( f^{\prime}(x)=x^{2}\left(\frac{4}{9} x-\frac{4}{3}\right)=0 \)
\( x^{2}=0 \)
\( \frac{4}{9} x=\frac{4}{3} \quad |: \frac{4}{9} \quad\boxed{x=3} \)

\( H(0,0), T(3 |-3) \)

\( f^{\prime \prime}(x)=\frac{4}{3} x^{2}-\frac{8}{3} x \quad f^{\prime \prime}(x)=\frac{4}{3} x^{2}-\frac{8}{3} x=0 \)
\( \quad x\left(\frac{4}{3} x-\frac{8}{3}\right)=0 \)
\( x=0 \)

\( W(0,2) \)

\( \frac{4}{3}x= \frac{8}{3} \)

\(x=2\)

Comments

Leider Merkst du gar nicht, dass bei dir Ungereimtheiten auftreten.

So schreibst du

H(0 | 0) für einen Hochpunkt im Ursprung aber auch W(0 | 2)

Soll letzteres heißen Wendepunkte bei x = 0 und x = 2. Das solltest du nicht als einen Punkt schreiben.

Du benutzt leider auch keine hinreichende Bedingung um zu klären was für Punkte genau vorliegen.

Answer 1

Bei mir sieht das wie folgt aus

Funktion & Ableitungen
f(x) = 1/9·(x^4 - 4·x^3)
f'(x) = 1/9·(4·x^3 - 12·x^2) = 4/9·(x^3 - 3·x^2)
f''(x) = 4/9·(3·x^2 - 6·x) = 4/3·(x^2 - 2·x)

Symmetrie
Keine untersuchte Symmetrie, bedingt durch die ungeraden und geraden Exponenten von x.

Verhalten im Unendlichen
lim (x → -∞) f(x) = ∞
lim (x → ∞) f(x) = ∞

Y-Achsenabschnitt: f(0)
f(0) = 0

Nullstellen: f(x) = 0
1/9·(x^4 - 4·x^3) = 1/9·x^3·(x - 4) = 0
x = 0 (3-fach → Sattelpunkt)
x = 4

Extrempunkte: f'(x) = 0
4/9·(x^3 - 3·x^2) = 4/9·x^2·(x - 3) = 0
x = 0 (2-fach → Sattelpunkt)
x = 3

f(0) = 0 → SP(0 | 0)
f(3) = -3 → TP(3 | -3)

Wendepunkte: f''(x) = 0
4/3·(x^2 - 2·x) = 4/3·x·(x - 2) = 0
x = 0
x = 2

f(0) = 0 → SP(0 | 0)
f(2) = -16/9 = -1.778 → WP(2 | -1.778)

Tangente an der Stelle a = 2
a = 2
f(a) = f(2) = -16/9 = -1.778
f'(a) = f'(2) = -16/9 = -1.778

t(x) = f'(a)·(x - a) + f(a) = -16/9·(x - 2) - 16/9 = 16/9 - 16/9·x

Skizze

Comments

Vielen herzlichen Dank! Es hat mir sehr geholfen!

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etwas verstehe ich doch nicht und zwar komme ich nicht auf die f(2) = -16/9.. gibt man die 2 nicht in f(x)=17)(x^4-4x^3) ein?

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Du setzt zwei in die Ausgangsgleichung ein:

$$\frac{1}{9}\cdot (2^4-4\cdot 2^3)=-\frac{16}{9}$$

Answer 2

Die Kurve:

https://www.desmos.com/calculator/vh5z0emb4l

$$x^4−4x^3=0$$

$$x^3(x-4)=0$$

$$x_1=0~~~~~~x_2=4$$

$$ N_1(0|0)~~~~~N_2(4|0) $$