Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen. f(x)=1/20(x^4-4x^3-18x^2+44x-23)

Question

Kann mir jemand bitte erklären wie man die Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen ermittelt?

Aufgabe: f(x)=1/20(x^4-4x^3-18x^2+44x-23)

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Vom Duplikat:

Titel: Nullstellen einer ganzrationalen Funktion

Stichworte: ganzrationale-funktionen

Kann mir jemand erklären wie man die Nullstellen bei einer ganzrationalen Funktion findet?

Aufgabe: f(x)=1/20(x^4-4x^3-18x^2+44x-23)

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Identisch zu

https://www.mathelounge.de/563295/nullstellen-bei-ganzrationalen-funktionen

An den Administrator: bitte beide identischen Fragen zusammenfassen.

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Identisch zu
https://www.mathelounge.de/563288/nullstellen-einer-ganzrationalen-funktion
https://www.mathelounge.de/563295/nullstellen-bei-ganzrationalen-funktionen
An den Administrator: bitte beide identischen Fragen zusammenfassen.

Answer 1

1/20 kannst du bei der Suche nach Nullstellen ignorieren. Der zweite Faktor (die Klammer muss 0 sein).

x=1 ist eine Nullstelle von f, die du raten kannst.

x^{4}-4x^{3}-18x^{2}+44x-23 = 0

1 - 4 - 18 + 44 - 23 = 0

Nun kannst du durch (x-1) teilen (Polynomdivision).

Du wirst feststellen, dass zufällig x=1 auch Nullstelle des Resultats ist. (x=1 ist also eine doppelte Nullstelle).

Teile nochmals durch (x-1).

Es bleibt ein quadratischer Term, bei dem du z.B. die pq- oder die abc-Formel verwenden kannst.

Answer 2

1. Nullstelle raten x1=1, Polynomdivision durchführen = durch (x-1) teilen. Dann weitere Nullstelle durch Raten finden

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factorise+(x4-4x3-18x2%2B44x-23)

Comments

Hallo Andreas,
ich will hoffen das mit dem heutigen Tag die
Hitzewelle / Hochsommer ein Ende findet.

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Erst am Donnerstag solls Regen geben.

Der Sommer ist noch lange nicht vorbei. Die nächste Welle kommt bestimmt. Leider! :)

Answer 3

In diesem Fall (leider) nur durch das Erraten der ersten Nullstellen. Bei solchen Aufgaben liegen Nullstellen oft bei einfachen Zahlen wie x=+-1, x=+-2, x=+-3 usw.

Es ist leicht zu erkennen, dass bei x=1 eine Nullstelle liegt. Damit wird das Polynom dividert (siehe Polynomdivison)

f(x) = (x-1)*(x^3 - 3x^2 - 21x + 23)

Bei dem Polynom dritten Grades x^3 - 3x^2 - 21x + 23 liegt bei x=1 wieder eine (zweifache) Nullstelle, also erneut dividiert

f(x) = (x-1)*(x-1)*(x^2 - 2x - 23)

Die Gleichung x^2 - 2x - 23 = 0 löst man dann mit der "Mitternachtsformel" und erhält so die restlichen Nullstellen

x1 = 1 - 2*wurzel(6)
x2 = 1 + 2*wurzel(6)

P.S.

Der Faktor 1/20 spielt bei der Betrachtung der Nullstellen keine Rolle, denn 1/20 * 0 = 0

Answer 4

In der Praxis ist es am einfachsten
( ab Funktion 3.Grades )

Plotten lassen

-3.8, 1, 5.8

Dann Newton-Verfahren mit den Startwerten -3.8 und 5.8.

In deinem Beispiel wäre es auch möglich:
Die 1 als Nullstelle erraten oder durch probieren finden.
Doppelte Nullstelle.
Durch Polynomdivision ergibt sich dann eine Funktion
2.Grades welche wie üblich ( z.B. pq-Formel )
gelöst werden kann.

Comments

In der (Schul-)Praxis kommt das Newtonverfahren so gut wie nicht vor und einfach in der Anwendung ist das auch nicht. Am einfachsten ist die Benutzung eines elektronischen Werkzeugs, das so etwas kann.

Answer 5

Bekannt sind Lösungsverfahren für:

1. lineare Gleichungen,

2. quadratische Gleichungen (pq-Formel oder Mitternachtsformel),

3. kubische Gleichungen (Formel von Cardano),

4. biquadratische Gleichungen (Substitution x²=z).

Für alle anderen bleibt entweder das von Gast2016 geschilderte Verfahren oder ein Näherungsverfahren (Newton oder regula falsi).

Taschenrechner und Computer-Algebra (Wolframalpha) helfen da, wo gar nichts mehr geht.

Answer 6

§1: Wenn ein Produkt 0 werden soll, ist ein konstanter Faktor irrelevant ("Satz vom Nullprodukt")

Aufgabe lautet also x^4-4x^3-18x^2+44x-23=0

§2: Da Lehrer ihren Schülern universelle Lösungswege bei Polynomen nur bis zum Grad 2 zumuten (p-q-Formel oder abc-Formel), werden höhere Grade nur Spezialaufgaben gestellt, die leicht zu erraten sind. Danach Polynomdivision, was zu (x - 1)² * (x² - 2*x - 23) = 0

führt.

Manchmal gibt es auch Spezialfall-Aufgaben, wo nur geradzahlige Potenzen vorkommen, die dann per Substitution lösbar sind (z=x² -> ergibt pq-Formel für die z-Gleichung)

a) Geschichtlich gesehen kam bei universellen Lösungswegen (frei von Spezialfällen) vor etwa 1000 Jahren die Bisektion.

(https://de.wikipedia.org/wiki/Bisektion )

b) Mindestens 500 Jahre ist https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren bekannt.

c) Mindestens 200 Jahre kennt man https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

(noch mit Fallunterscheidung & trigonometrischen Funktionen)

d) Etwa 100 Jahre kennt man die aus c) optimierten expliziten PQRSTUVW Formeln.

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet c) und d) vor: