Was ist die Ableitung dieser Funktion y= x^{1/x}?

Question

Berechne die Ableitung folgender Funktionen:

x^{1/x}

und

$$ \sqrt { 1 + \sqrt { x } } $$

vgl: https://www.mathelounge.de/6964/1-und-2-ableitung-folgender-funktionen-1-x-0-5-0-5-und-cos-x-2

Comments

Die Zweite wurde hier gestern schon vorgerechnet mit der Kettenregel.

https://www.mathelounge.de/6964/1-und-2-ableitung-folgender-funktionen-1-x-0-5-0-5-und-cos-x-2

Die Erste muss wohl x^{1/x} heissen. Oder?

x^1/x ist nämlich einfach 1 für alle x≠0. Das hätte die Ableitung (x^1/x)' = 0 für alle x≠0 und für x=0 wäre keine Ableitung definiert.

Answer 1

f(x) = x^{1/x} = e^ln(x^{1/x}) = e^{1/x * ln(x)}

Das können wir mit der Kettenregel und Produktregel ableiten

f '(x) = e^{1/x * ln(x)} * (-1/x^2 * ln(x) + 1/x * 1/x)

f '(x) = x^{1/x} * ((1 - ln(x))/x^2)

f '(x) = x^{1/x - 2} * (1 - ln(x))