Umformen von Brüchen mit Wurzeln: x / ³√(xy²)

Question

$$ \frac { x } { \sqrt [ 3 ] { x y ^ { 2 } } } = \frac { x \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } y } } { \sqrt [ 3 ] { x y ^ { 2 } } \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } y } } = \frac { x \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } y } } { x y } = \frac { 1 } { y } x \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } y } $$

Hier verstehe ich leider nicht so genau was mit dieser Umformung vereinfacht wird oder wozu das dient? Im ersten Schritt wird der  Bruch so erweitert, dass der Nenner vereinfacht werden kann, dass nur die Basen der Wurzeln über bleiben....

weil ³√xy² ·³√x²y=³√x³y³  also gleich xy

Und damit der Ausdruck sich in seinem Wert und Inhalt nicht ändert wird der Zeahler mit dem gleichen Wert ereweitert, somit ist der Ausdruck nur mit einem Wert von 1 erweitert...

Bis dahin versteh ich das auch noch, aber der letzte Ausdruck kommt mir spanisch vor, warum auf einmal 1/y usw was ist da passiert?

Answer 1

Man versucht bei solchen Umformungen die Wurzel aus dem Nenner zu entfernen und erweitert den Bruch eigentlich mit  eins. Danach ist es leider nicht mehr so ganz richtig übernommen worden, wodurch ein Fehler enstanden ist.

$$ \frac { x } { \sqrt [ 3 ] { x y ^ { 2 } } } \qquad |* \frac { \sqrt [ 3 ] { x y ^ { 2 } } } { \sqrt [ 3 ] { x y ^ { 2 } } } \\ = \frac { x ^ { * } \sqrt [ 3 ] { x y ^ { 2 } } } { \sqrt [ 3 ] { x y ^ { 2 } } * \sqrt [ 3 ] { x y ^ { 2 } } } \\ = \frac { x ^ { * \sqrt [ 3 ] { x y ^ { 2 } } } } { x y ^ { 2 } } \qquad | \text{x kürzen} \\ = \frac { 1 } { y ^ { 2 } } * \sqrt [ 3 ] { x y ^ { 2 } } $$