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Liebe Community!

Von folgender Aufgabe wurde ich auf Grund ausgefallener Vorlesungen komplett überrumpelt:

Es sei II eine beliebige Indexmenge (nicht notwendigerweise abzählbar oder endlich), {Oi}iI\left\{\mathcal{O}_i\right\}_{i \in I} und {Ai}iI\left\{A_i\right\}_{i \in I} beliebige Familien offener bzw. abgeschlossener Mengen (d.h. iI : OiT,(Ai)cT \forall i \in I : \mathcal{O}_i \in \mathcal{T} , (A_i)^c \in \mathcal{T} ), wobei T : ={ORd  offen} \mathcal{T} := \left\{\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^d \; offen \right\} .

Zeigen Sie, iIOi \bigcup\limits_{i \in I} \mathcal{O}_i ist eine offene Menge.

Zeigen Sie, nN : O1,...,On \forall n \in \mathbb{N} : \forall \mathcal{O}_1 , ... , \mathcal{O}_n offen, ist i=1nOi \bigcap\limits_{i = 1}^{n} \mathcal{O}_i offen.

Zeigen Sie, iIAi \bigcap\limits_{i \in I} A_i ist eine abgeschlossene Menge.

Zeigen Sie,  nN : A1,...,An \forall n \in \mathbb{N} : \forall A_1 , ... , A_n abgeschlossen, ist i=1nOi \bigcup\limits_{i = 1}^{n} \mathcal{O}_i abgeschlossen

Geben Sie ein Beispiel von offenen (bzw. abgeschlossenen) Mengen an, deren Durchschnitt (bzw.
Vereinigung) nicht offen (bzw. abgeschlossen) ist.

Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe!

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Beste Antwort

Es geht ja um offene bzw. abgeschlossene Mengen in Rd .

Vermutlich ist offen so definiert:

O ist offen <=> Für jedes x ∈ O gibt es eine Umgebung von x, die ganz in O

enthalten ist.

zu 1.  Die Vereinigung ist offen, denn sei x aus dieser Vereinigung, dann gibt es

(mindestens) eine i∈I mit x ∈ Oi .Da Oi offen ist, enthält Oi mit x auch

eine ganze Umgebung von x und diese Umgebung ist dann auch Teilmenge

der Vereinigung aller Oi.

zu 2. Hier ist der Pfiff: es sind nur endlich viele.

Sei also x aus dem Durchschnitt. Dann liegt x in der der Mengen

Oi. Dann gibt es für jedes i ein εi so dass Oi die  εi -Umgebung von x

enthält. Von den endlich vielen  εi  gibt es ein Minimum  ε.

Und diese  ε-Umgebung ist in allen Oi enthalten, also auch im Durchschnitt.

3 und 4: Bedenke  A ist abgeschlossen genau dann, wenn Rd \ A offen ist.

Damit kannst du alles auf 1 und 2 zurückspielen.

Ein Beispiel wären die ε-Umgebungen um 0 für alle ε=1/n und n ∈ ℕ \ {0}.

Die sind alle offen, aber ihr Durchschnitt besteht nur aus der 0, ist also

nicht offen.

Avatar von 289 k 🚀

Danke für die Tipps zu jeder Teilaufgabe. Konnte damit mittlerweile alle Aufgaben (hoffentlich richtig) lösen.

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