Liebe Community!
Von folgender Aufgabe wurde ich auf Grund ausgefallener Vorlesungen komplett überrumpelt:
Es sei I eine beliebige Indexmenge (nicht notwendigerweise abzählbar oder endlich), {Oi}i∈I und {Ai}i∈I beliebige Familien offener bzw. abgeschlossener Mengen (d.h. ∀i∈I : Oi∈T,(Ai)c∈T ), wobei T : ={O⊂Rdoffen}.
Zeigen Sie, i∈I⋃Oi ist eine offene Menge.
Zeigen Sie, ∀n∈N : ∀O1,...,On offen, ist i=1⋂nOi offen.
Zeigen Sie, i∈I⋂Ai ist eine abgeschlossene Menge.
Zeigen Sie, ∀n∈N : ∀A1,...,An abgeschlossen, ist i=1⋃nOi abgeschlossen
Geben Sie ein Beispiel von offenen (bzw. abgeschlossenen) Mengen an, deren Durchschnitt (bzw.
Vereinigung) nicht offen (bzw. abgeschlossen) ist.
Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe!