Beweise für Indexmengen und offene bzw. abgeschlossene Mengen

Question

Liebe Community!

Von folgender Aufgabe wurde ich auf Grund ausgefallener Vorlesungen komplett überrumpelt:

Es sei \(I\) eine beliebige Indexmenge (nicht notwendigerweise abzählbar oder endlich), \(\left\{\mathcal{O}_i\right\}_{i \in I}\) und \(\left\{A_i\right\}_{i \in I}\) beliebige Familien offener bzw. abgeschlossener Mengen (d.h. \( \forall i \in I : \mathcal{O}_i \in \mathcal{T} , (A_i)^c \in \mathcal{T} \) ), wobei \( \mathcal{T} := \left\{\mathcal{O}  \subset \mathbb{R}^d \; offen \right\} \).

Zeigen Sie, \( \bigcup\limits_{i \in I} \mathcal{O}_i \) ist eine offene Menge.

Zeigen Sie, \( \forall n \in \mathbb{N} : \forall \mathcal{O}_1 , ... , \mathcal{O}_n \) offen, ist \( \bigcap\limits_{i = 1}^{n}  \mathcal{O}_i \) offen.

Zeigen Sie, \( \bigcap\limits_{i \in I} A_i \) ist eine abgeschlossene Menge.

Zeigen Sie,  \( \forall n \in \mathbb{N} : \forall A_1 , ... , A_n \) abgeschlossen, ist \( \bigcup\limits_{i = 1}^{n} \mathcal{O}_i \) abgeschlossen

Geben Sie ein Beispiel von offenen (bzw. abgeschlossenen) Mengen an, deren Durchschnitt (bzw.
Vereinigung) nicht offen (bzw. abgeschlossen) ist.

Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe!

Answer 1

Es geht ja um offene bzw. abgeschlossene Mengen in R^d .

Vermutlich ist offen so definiert:

O ist offen <=> Für jedes x ∈ O gibt es eine Umgebung von x, die ganz in O

enthalten ist.

zu 1.  Die Vereinigung ist offen, denn sei x aus dieser Vereinigung, dann gibt es

(mindestens) eine i∈I mit x ∈ O_i .Da O_i offen ist, enthält O_i mit x auch

eine ganze Umgebung von x und diese Umgebung ist dann auch Teilmenge

der Vereinigung aller O_i.

zu 2. Hier ist der Pfiff: es sind nur endlich viele.

Sei also x aus dem Durchschnitt. Dann liegt x in der der Mengen

O_i. Dann gibt es für jedes i ein ε_i so dass O_i die  ε_i -Umgebung von x

enthält. Von den endlich vielen  ε_i  gibt es ein Minimum  ε.

Und diese  ε-Umgebung ist in allen O_i enthalten, also auch im Durchschnitt.

3 und 4: Bedenke  A ist abgeschlossen genau dann, wenn R^d \ A offen ist.

Damit kannst du alles auf 1 und 2 zurückspielen.

Ein Beispiel wären die ε-Umgebungen um 0 für alle ε=1/n und n ∈ ℕ \ {0}.

Die sind alle offen, aber ihr Durchschnitt besteht nur aus der 0, ist also

nicht offen.

Comments

Danke für die Tipps zu jeder Teilaufgabe. Konnte damit mittlerweile alle Aufgaben (hoffentlich richtig) lösen.