Konvergenzradius Potenzreihe teil 2

Question

Hier noch einmal die zweite.

Die ist richtig, die habe ich aus einem Buch, leider weiß ich nicht warum x0=0 in dem Fall gewählt wird...

Den Rest verstehe ich.

Answer 1

Aus Wikipedia (Stichwort: Konvergenzradius):

Wenn (Anm. JotEs: in der Reihe \(\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { a }_{ n }{ (x-{ x }_{ 0 }) }^{ n } }\) ) ab einem bestimmten Index n alle a_n von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius (...) durch

$$r=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } }  \right|  }$$

berechnet werden.

Vermutlich lautet die von dir zu betrachtende Reihe:

$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { \frac { 1 }{ { k }^{ 2 }*{ 2 }^{ k } }  }{ x }^{ n } }$$

Schreibt man diese Reihe in der oben in meiner Anmerkung genannten Form, so erhält man:

$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { \frac { 1 }{ { k }^{ 2 }*{ 2 }^{ k } }  }{ (x-{ 0 }) }^{ n } }$$

sodass also in dieser Reihe x₀ = 0 ist.

Comments

ja genau, die Reihe habe ich betrachtet und halt dann das quotientenkriterium angewendet wie du es auch geschrieben hast, aber trotzdem leutet mir nicht ein, wie du auch geschrieben hast, dass x=0 :(

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was du ja gesagt hast x0=0  ist ja der entwicklungspunkt. Hast du einfach gesagt weil die Reihe gegen 0 konvergeirt dass der Entwicklungspunkt auch 0 sein muss?

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Zunächst eine Korrektur: Das k=0-te Glied der Reihe existiert nicht, wegen k ² im Nenner. Daher muss die Reihe mit dem Index k = 1 beginnnen.

Nun aber zu deiner Frage:

Wenn du die Reihe

$$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { \frac { 1 }{ { k }^{ 2 }*{ 2 }^{ k } }  }{ x }^{ n } }$$

betrachtest, dann betrachtest du tatsächlich die Reihe:

$$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { \frac { 1 }{ { k }^{ 2 }*{ 2 }^{ k } }  }{ (x-{ x }_{ 0 }) }^{ n } }$$

mit x₀ = 0

Anders gesagt: Wenn x₀ ungleich 0 wäre, meinetwegen x₀ = r ≠ 0, dann müsste die von dir betrachtete Reihe so aussehen:

$$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { \frac { 1 }{ { k }^{ 2 }*{ 2 }^{ k } }  }{ (x-{ r }) }^{ n } }$$

Tut sie aber nicht, also ist x₀ = 0