Bestimme die Asymptote der gegebenen Funktion.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist diese rationale Funktion:

(8x-16)/x²

Problem/Ansatz:

Wie muss ich vorgehen um herauszufinden ob und welche Asymptote (horizontal/vertikal/schief) diese Funktion hat?

Answer 1

Nennerfunktion höheren Grades als Zählerfunktion: x-Achse ist Asymptote. Polynomdivision ergibt keinen ganzrationalen Teil: Keine schräge Asymptote. Für x→0 geht f(x)→∞: f(x)-Achse ist Asymptote (x=0 Definitionslücke).

Answer 2

f = (8x-16) / x^2
Polstelle bei x = 0
f = (8*0-16) / 0^2 = -16 / 0 = -∞
x = 0 ist eine vertikale Asymptote ( y-Achse )

Verhalten im Unendlichen
lim x -> + ∞ [ (8x-16) / x^2 ] = 8 / x - 16 / x^2 = 8 / x = 0
lim x -> - ∞ [ (8x-16) / x^2 ] = -8 / x - 16 / x^2 = -8 / x = 0
y = 0 ist eine horizontale Asymptote ( x-Achse )