Beweise, dass (A x B)°=A° x B°

Question

° steht für das topologisch Innere. Der Beweis, den ich versuche zu verstehen lautet:

"⊂": Sei (x,y)∈(A x B)°, dann exist. ε>0, so dass B(ε,(x,y))⊂AxB. Setzen wir ε₁=ε/√2, so gilt:$$B_{\varepsilon_1}(x)\times B_{\varepsilon_1}(y)\subset B_\varepsilon((x,y))\subset A\times B$$ d.h. es ist (x,y)∈A° x B°.

Ich bin raus sobald definiert ε₁ wird. Kann das jemand noch etwas weiter ausführen?

Answer 1

Was du in dieser Richtung beweisen willst ist wörtlich folgendes: Wenn \((x,y)\) im inneren von \(A\times B\) liegt, dann liegt \(x\) im inneren von \(A\) und \(y\) im inneren von \(B\). Du nimmst dir einen Punkt \((x,y)\) und bekommst natürlich so einen Epsilon-ball. Jetzt möchtest du jeweils \(\varepsilon_1\)-Intervalle (da wir jetzt vom \(\mathbb{R}^2\) in \(\mathbb{R}\) wechseln) um \(x\) und \(y\), die jeweils im inneren von A und im Inneren von B liegen. Das Bild unten sollte den Sachverhalt klären, wieso das oben stehende \(\varepsilon_1\) das richtige ist (Der Punkt (x,y) ist hier der Ursprung). Das ist nämlich einfach die Seitenlänge des unteren kleinen Quadrates, wobei der Kreis Radius \(\varepsilon\) hat. Oben im Beweis soll am Ende der Inklusionskette nicht \(A\times B\) stehen sondern \(A^{°}\times B^{°}\).

~draw~ kreis(0|0 5);polygon(3.5355|3.5355 3.5355|-3.5355 -3.5355|-3.5355 -3.5355|3.5355);polygon(-6|6 6|6 6|-6 -6|-6){880}{0.2};text(-8|6 "B-epsilon(x,y)"){00F}{1};text(-8|7.5 "B-epsilon1(x) x B-epsilon1(y)"){0F0}{1};text(-8|5 "AxB"){880}{1};zoom(10) ~draw~

Comments

Mit deiner Antwort ist es nun noch klarer geworden, vielen Dank! Ich habe letzte Nacht irgendwie den Durchblick verloren.

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⊂AxB ist m. E. aber nicht falsch, da ja A°xB°⊂AxB

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Ja, \(\subseteq A\times B\) ist logisch gesehen nicht falsch, es beweist aber die Aussage nicht. Was du unbedingt willst ist \(\subseteq A^°\times B^°\).