z = 64(1+√3 *i)^-6 Imaginärteil und Realteil?

Question

Laut Lösung ist der Realteil und Imaginärteil von folgender Aufgabe:

z = 64(1+3^{0.5} * i)^-6

(vereinfachte Form von z = 64(sin^2 (x) + cos^2 (x) + 3^{0.5 }*i)^-6)

in der Lösung steht 1, ich habe aber absolut keine Ahnung, wie man drauf kommt…
wäre sehr nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte

Comments

Hier stimmt irgendwas nicht.

Ist da vielleicht noch ein i dabei?

64(1+3^{0.5})^{-6}

https://www.wolframalpha.com/input/?i=64%281%2B3%5E%280.5%29%29%5E%28-6%29

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Oh ja natürlich, tut mir leid.

Zu dem Term Wurzel aus 3 gehört das i.

sorry

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Habe dein i oben ergänzt.

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Kann man die Aufgabe denn ohne Zuhilfenahme von Taschenrechner (bzw. online Rechner) bewältigen? Gibt es irgendeinen Trick, den Term so aufzulösen, dass man auf die genannte Lösung (also 1) kommt?

Danke jedenfalls erstmal für deine Hilfe!


/edit:

etwas zu spät- Super Danke, du Profi!

Echt toll hier :-)

Answer 1

Am einfachsten ist das, wenn du deine Zahl in Polarkoordinaten umformst. (Alternative: Mehrfach binomische Formel anwenden und ausmultiplizieren)

z1= (1+3^0.5 * i)

hat r = √(1 + 3) = 2

und PHI = arctan(√3 / 1) = 60° = π/3

Daher z1 = 2 * e^{ iπ/3}

Somit z1^6 = 2^6 * e^{ i*6π/3} = 64 * e^{i * 2π} = 64 * e^{0*i} = 64*1 = 64

Jetzt noch 64/64 = 1

Realteil von z ist 1 und Imaginärteil von z ist 0.