Zeigen, dass die Ableitung von x^n gleich nx^(n-1) ist, mit der h-Methode

Question

ich helfe gerade meiner kleinen Schwester in Mathe. Sie lernt zuhause die Ableitungen mit der h-Methode. Sie soll damit zeigen, dass die Ableitung von x^n gleich nx^(n-1) ist, wenn n aus N ist.

Ich habe versucht, das zu erklären, kiege es aber irgendwie selbst nicht hin :(

Könnte uns hier bitte jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Zu zeigen: \(\left(x^n\right)'=nx^{n-1}\quad;\quad n\in\mathbb{N}\)

Ich würde das über vollständige Induktion wie folgt zeigen.

1) Verankerung bei \(n=1\):$$(x^n)'=(x^1)'=(x)'=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{h}{h}\right)=\lim\limits_{h\to0}(1)=1=1\cdot x^0=n\cdot x^{n-1}\quad\checkmark$$

2) Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$\left(x^{n+1}\right)'=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^{n+1}-x^{n+1}}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)\cdot(x+h)^n-x\cdot x^n}{h}$$$$\phantom{\left(x^{n+1}\right)'}=\lim\limits_{h\to0}\frac{x\cdot(x+h)^n+h\cdot(x+h)^n-x\cdot x^n}{h}$$$$\phantom{\left(x^{n+1}\right)'}=\lim\limits_{h\to0}\frac{x\cdot(x+h)^n-x\cdot x^n}{h}+\lim\limits_{h\to0}\frac{h\cdot(x+h)^n}{h}$$$$\phantom{\left(x^{n+1}\right)'}=x\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}+\lim\limits_{h\to0}\,(x+h)^n$$$$\phantom{\left(x^{n+1}\right)'}=x\cdot\left(x^n\right)'+x^n$$Nach Induktionsvoraussetzung ist \((x^n)'=nx^{n-1}\) und wir erhalten weiter:$$\left(x^{n+1}\right)'=x\cdot nx^{n-1}+x^n=nx^n+x^n=(n+1)x^n=(n+1)x^{(n+1)-1}\quad\checkmark$$

Comments

Das ist natürlich ein super Lösungsweg für die kleine Schwester.

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Finde ich auch... \o/

Aber vielleicht hast du ja einen noch besseren Lösungsweg?

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Larry, die Lösung passt schon, meine Schwester hat sie sofort verstanden. Die hatte vollständige Induktion schon im Unterricht.

Tschakabumba, vielen Dank fürs Zeigen!

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Warum wählt man hier Induktion statt eines direkten Beweises?

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Hallo Stefan,

Tippfehler in der letzten Zeile:

$$\left(x^{n+1}\right)'=x\cdot \color{red}{n^{n-1}}+x^n=nx^n+x^n=(n+1)x^n=(n+1)x^{(n+1)-1}\quad\checkmark$$

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Aloha Wolfgang ;)

Danke dir für den Hinweis, ich habs korrigiert!

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@IchLiebeAlgebra

Das hätte ich unserem Bildungssystem nicht zugetraut.

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Man kann das direkt zeigen, siehe die Antwort von @Roland, warum Induktion?

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Ich sehe bei der Antwort von Roland keinen Beweis. Dort steht der binomische Lehrsatz (mit falschen Variabeln) und dass dieser in den Differenzenquotienten eingesetzt werden soll.

Ich habe mich unter anderem deswegen für die Induktion entschieden, weil ich nicht glaube, dass eine Schülerin den entstehenden Ausdruck$$\frac{\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}h^k-x^n}{h}$$so leicht umformen kann, dass  sie den Grenzwert \(h\to0\) bilden kann. Mit anderen Worten, ich halte den direkten Beweis für schwieriger als die Induktion.

Wenn du anderer Ansicht bist, lieber Mister, kannst du IchLiebeAlgebra ja gerne vorführen, wie die nötige Umformung geht.

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Außerdem steht bei der Antwort von Roland, dass man kürzen und dann h = 0 wählen soll. Wenn man von den falschen Bezeichnern absieht, ein konsistenter Lösungsvorschlag.

Welche weiteren Gründe hattest du für die Induktion?

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Lol, darauf erwartest du doch nicht im ernst eine Antwort. Als ob ich mich hier vor dir rechtfertigen würde. Schau dir das Video an, das Gast jc2144 gepostet hat. und dann sag mir nochmal, dass der direkte Beweis einfacher ist...

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Ich hatte tatsächlich nicht damit gerechnet, dass du eine plausible Antwort auf die Frage hast.

Answer 2

Du brauchst den binomischen Lehrsatz (x+h)ⁿ=\( \sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}} \)a^n-k·b^k. Dies setzt du in den Differenzenquotienten \( \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \) ein und wählst h (nach kürzen) gleich 0.

Answer 3

Hallo,

das wird in diesem Video vorgemacht:

https://www.youtube.com/watch?v=eAylmTAGxsA