Wie löse ich die einzelnen Aufgaben? Dreiseitige Pyramide

Question

Aufgabe:

Eine dreiseitige Pyramide ist durch die Punkte A(0|-2/0), B(3|1|1),C(1|2|1) und D(1|1|3) festgelegt.

a) Zeigen Sie, dass das Dreieck BCD gleichschenklig ist.

 b) Berechnen Sie die Größe der Innenwinkel des Dreiecks.

 c) Ermitteln Sie eine Normalengleichung der Ebene E, die durch die Punkte B, C und D geht.

 d) Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden g, die auf der Ebene E senkrecht steht und durch den Punkt A geht.

e) Bestimmen Sie den Fußpunkt F der Pyramidenhöhe sowie die Höhe der Pyramide mit Spitze A.

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme die folgenden Aufgaben zu lösen, ich bedanke mich für jede Hilfe! :)

Comments

Hast du bei A schon die drei Seitenlängen berechnet!

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Laut der Formel brauche ich doch für die Seitenlänge die Höhe erstmal oder?

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Nein bis jetzt noch nicht, da ich nicht wusste wo genau ich anfangen sollte.

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Nein bis jetzt noch nicht, da ich nicht wusste wo genau ich anfangen sollte.

Aufgaben sind meist so gestellt, dass es günstig ist bei a) anzufangen und bei der letzten Teilaufgabe aufzuhören.

Merke. Aufgaben sind meist in der Reihenfolge gestellt, in der es günstig ist die Aufgabe zu bearbeiten.

Warum ist das so? Weil kein Lehrer den Schülern zutraut dass er selbstständig ermitteln kann welche Reihenfolge die günstigste ist.

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Stimmt, ergibt eigentlich auch Sinn!

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Stimmt, ergibt eigentlich auch Sinn!

Wie muss ich denn jetzt weiter vorgehen?

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Du könntest noch die Längen der Vektoren bestimmen.

Wurzel 11,6 & 11

kann irgendwie nicht sein denke ich. Also try again.

Und wenn du das hast machst du b) also die Winkelberechnung. Das ist nur einsetzen in eine Formel. Eigentlich langt ein Winkel wirklich über die Vektoren zu ermitteln. Danach könntest du die anderen beiden Winkel auch mit dem Wissen, dass es ein gleichschenkliges Dreieck ist berechnen.

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Also soll ich mich bei den Winkeln auf BCD beschränken?

Ich habe halt C-B gerechnet und dann davon den Betrag

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Ich habe halt C-B gerechnet und dann davon den Betrag

Das ist die Länge von BC. Gib mal die Rechnung und das Ergebnis an

Also soll ich mich bei den Winkeln auf BCD beschränken?

Angeben sollst du nachher alle

Du meinst statt BCD sicher auch DCB. Du weißt eventuell das Winkel gegen den Uhrzeigersin gemessen werden. Im Dreieck gibt man daher die Punkte im Uhrzeigersin an. DCB ist dann der Innenwinkel bei C.

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Tut mir leid bin teilweise ein bisschen verwirrt, also muss die Winkel von ABCD angeben oder nur die von BCD in dem Falle DCB?

Answer 1

Fange an mit dem Aufstellen der Vektoren zwischen den Punkten B, C und D und berechne deren Beträge.

Comments

Bei den Vektoren haben ich jetzt einmal:

BD,BC & CD berechnet und aus den Vektoren die Beträge:

Wurzel 11,6 & 11 rausbekommen

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Das sieht verkehrt aus. Wie hast du den Betrag von BC berechnet?

Answer 2

a) Zeigen Sie, dass das Dreieck BCD gleichschenklig ist.

BC = [-2, 1, 0]
BD = [-2, 0, 2]
CD = [0, -1, 2]
Hier darf man schon erkennen, dass BC und CD die gleiche Länge besitzen.

Comments

Also dementsprechend ist es nicht gleichschenklig?

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Also dementsprechend ist es nicht gleichschenklig?

Wenn BC und CD die gleiche Länge besitzen ist es gleichschenklig oder nicht?

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Stimmt, ich habe CD zu sehr beachtet.

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Stimmt du hast recht, ich habe einmal den Betrag allein für a,b & c ausgerechnet und einmal für die verbindungsvektoren, habe mich dabei verguckt also kommt bei mir Wurzel 8,5, & 5 raus.

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Wurzel 8,5, & 5

Das ist richtig. Schreibe aber lieber √8 ; √5 ; √5

Am besten dazu noch die Seiten angeben. Z.B.

|BC| = √5 ; |BD| = √8 ; |CD| = √5

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Ja genau habe ich auch so aufgeschrieben :)

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Ok. Dann auf an die Winkelberechnung:

https://www.youtube.com/results?search_query=winkel+zwischen+vektoren

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Bei dem Winkel D kriege ich nun aufgerundet 18,96 grad raus weiß aber nicht so richtig ob es korrekt ist

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Kontrollergebnisse

b) Berechnen Sie die Größe der Innenwinkel des Dreiecks.

∠CBD = 50.77°
∠DCB = 78.46°
∠BDC = 50.77°

c) Ermitteln Sie eine Normalengleichung der Ebene E, die durch die Punkte B, C und D geht.

E: (X - [3, 1, 1])·[1, 2, 1] = 0

d) Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden g, die auf der Ebene E senkrecht steht und durch den Punkt A geht.

g: X = [0, -2, 0] + r·[1, 2, 1]

e) Bestimmen Sie den Fußpunkt F der Pyramidenhöhe sowie die Höhe der Pyramide mit Spitze A.

F = [- 5/3, - 16/3, - 5/3]

|AF| = 5/3·√6 = 4.082

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Vielen Dank, habe genau das selbe jetzt raus! :)

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Wie bist du bei Aufgabe d auf die Gleichung gekommen?

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Ortsvektor A sollte klar sein und der Normalenvektor von E sollte auch klar sein. Den Normalenvektor hat man ja bereits in c) verwendet.

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Ja habe jetzt auch mal ausgerechnet, bei F kriege ich was anderes raus wie hast du das da gerechnet?

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Das ist der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene.  Dazu wird die Geradengleichung in die Ebene eingesetzt und zum Parameter aufgelöst. Dann den Parameter in die Gerade einsetzen.

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Ok ja habe jetzt das nochmal neu berechnet