Aloha :)
In der (b) sollst du zeigen, dass das Integral links die angegebene Stammfunktion rechts hat. Da Differenzieren in der Regel einfacher ist als Integrieren, leiten wir einfach die Stammfunktion ab und prüfen, ob der Integrand rauskommt:$$(\underbrace{x^n}_{=u}\,\underbrace{e^x}_{=v}+C)'=\underbrace{nx^{n-1}}_{=u'}\,\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{x^n}_{=u}\,\underbrace{e^x}_{=v'}\quad\checkmark$$Die rechte Seite unserer Rechnung ist exakt der Term, der unter dem Integral steht. Damit ist diese Regel gezeigt.
In der (c) sollst du die Formel aus (b) nun nutzen. Wir bauen sie dazu etwas um. Die Konstante \(C\) lasse ich dabei weg:$$\int\left(x^ne^n+nx^{n-1}e^x\right)dx=x^ne^x$$$$\int x^ne^n\,dx+\int nx^{n-1}e^x\,dx=x^ne^x$$$$\int x^ne^n\,dx=x^ne^x-\int nx^{n-1}e^x\,dx$$Nun wenden wir das für den Fall \(n=2\) an:
$$\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int2x e^x\,dx=x^2e^x-2\underline{\int x e^x\,dx}$$Für das unterstrichene Integral können wir die Regel aus (b) mit \(n=1\) erneut anweden:$$\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x$$Jetzt bauen wir alles zusammen:$$\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\left(xe^x-e^x\right)=e^x\left(x^2-2x+2\right)+C$$Beache, dass ich auch brav die Konstante \(C\) wieder im Ergebnis habe ;) Jetzt nur noch die Grenzen einsetzen:$$\int\limits_1^2 x^2e^x\,dx=\left[e^x\left(x^2-2x+2\right)\right]_1^2=2e^2-e\approx12,06$$
