lr-zerlegung, matrix gauss

Question

Die Matrix A ={{1,3,-2},{2,4,1},{-2,2,4}}       kann allein durch elementare Zeilenumformungen vom

Typ 3 in eine obere Dreiecksform transformiert werden.Berechnen Sie die Zerlegung
von A = L  R, wobei L als Produkt der zugehörigen Elementarmatrizen eine linke
untere Dreicksmatrix mit Einsen auf der Diagonale und R die resultierende rechte obere
Dreicksmatrix ist

Answer 1

1. Schritt: Addiere das (-2)-fache der ersten Zeile zur zweiten, sowie das 2-fache der ersten Zeile zur dritten. Das Ergebnis ist

$$A = \begin{pmatrix} 1&3&-2\\2&4&1\\-2&2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\2&1&0\\-2&0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1&3&-2\\0&-2&5\\0&8&0 \end{pmatrix}.$$

2. Schritt: Addiere das 4-fache der zweiten Zeile zur dritten. Das Resultat ist:

$$ A = \begin{pmatrix} 1&3&-2\\2&4&1\\-2&2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\2&1&0\\-2&-4&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1&3&-2\\0&-2&5\\0&0&20 \end{pmatrix} =L \cdot R$$