Aloha :)
Zum besseren Verständnis versuche ich mal, den Lösungsweg zu erklären:
Aus dem Text entnehmen wir, dass 87% der Bälle im Gewichtsintervall \([-2,4|3,0]\) Gramm liegen, d.h:$$0,87=P(2,4\le G\le 3,0)=P(G\le3,0)-P(G<2,4)$$Die Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung können wir normalisieren, indem wir den aus der Aufgabenstellung bekannten Erwartungswert \(\mu=2,7\) Gramm nutzen und die noch gesuchte Standardabweichung \(\sigma\) als schon bekannt voraussetzen (die Formel werden wir am Ende nach \(\sigma\) umstellen).$$0,87=\Phi\left(\frac{3,0-2,7}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{2,4-2,7}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{0,3}{\sigma}\right)-\Phi\left(-\frac{0,3}{\sigma}\right)$$Wegen der Symmetrie der Glockenkurve gilt: \(\Phi(z)+\Phi(-z)=1\) bzw. \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\), sodass wir die beiden \(\Phi\)-Werte vereinfachen können:$$0,87=\Phi\left(\frac{0,3}{\sigma}\right)-\left(\underbrace{1-\Phi\left(\frac{0,3}{\sigma}\right)}_{=\Phi(-0,3/\sigma)}\right)=2\Phi\left(\frac{0,3}{\sigma}\right)-1$$Das Stellen wir nach dem \(\Phi\)-Wert um:$$2\Phi\left(\frac{0,3}{\sigma}\right)=1,87$$$$\Phi\left(\frac{0,3}{\sigma}\right)=0,935$$Das \(\Phi\) die Standard-Normalverteilung ist, können wir den Wert der Umkehrfunktion \(\Phi^{-1}\) aus denselben Tabellen ablesen bzw. mit dem Rechner ermitteln:$$\frac{0,3}{\sigma}=\Phi^{-1}(0,935)\approx1,514102$$$$\sigma=\frac{0,3}{1,514102}\approx0,198137$$
