Standardabweichung ermitteln

Question

Aufgabe:

Die Firma „Balliwood“ stellt natürlich auch Tischtennisbälle her. Für einen kugelförmigen Tischtennisball, der bei Tischtennis-Wettbewerben verwendet werden kann, sind die Eigenschaften (I) und (II) wie folgt vorgeschrieben:
(I) Für den Durchmesser d des Tischtennisballs gilt: 39,5mm ≤ d ≤ 40,5 mm
(II)    Für die Masse m des Tischtennisballs gilt: 2,4g ≤ m ≤ 3,0g

Die Masse und der Durchmesser der in der Firma hergestellten Tischtennisbälle  können als normalverteilt angenommen werden.     

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein der Produktion zufällig  entnommener Tischtennisball die Eigenschaft (II) erfüllt, beträgt 87 %.  Erfahrungsgemäß beträgt der Erwartungswert der Masse der produzierten Tischtennisbälle 2,7 g. Ermittle die Standardabweichung der Masse der produzierten Tischtennisbälle.   

Problem/Ansatz:

Ich bin mir unsicher, ob meine Lösung stimmt.

Comments

Ich bin mir unsicher, ob meine Lösung stimmt.

Ich bin mir da auch unsicher, denn ich sehe sie nicht.

Wenn wir sie begutachten sollen, schreibe sie auf.

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Meine Lösung ist 0,708.

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1,51 σ müssen 3 g sein, also ist sigma ungefähr 2 (und nicht 0,7...)

Da das intervall symmtrisch zu µ ist, müssen von den 87%  insgesamt 43,5% über dem Mittelwert liegen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte kleiner als die obere Grenze sind, muss dann
0,5 + 0,435 = 0,935 sein. 0,935 in der Tabelle lese ich bei ca. 1,51 ab,

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Übel, ich habe eine Kommastelle übersehen.

Richtig wäre

1,51 σ müssen 0,3 g sein, damit ist σ nicht "ungefähr 2", sondern "ungefähr 0,2".

Genauere Lösung siehe bei Mathecoach.

Answer 1

NORMAL(k) = 0.5 + 0.87/2 --> k = 1.514

2.7 + 1.514·σ = 3 --> σ = 0.1982

Answer 2

Aloha :)

Zum besseren Verständnis versuche ich mal, den Lösungsweg zu erklären:

Aus dem Text entnehmen wir, dass 87% der Bälle im Gewichtsintervall \([-2,4|3,0]\) Gramm liegen, d.h:$$0,87=P(2,4\le G\le 3,0)=P(G\le3,0)-P(G<2,4)$$Die Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung können wir normalisieren, indem wir den aus der Aufgabenstellung bekannten Erwartungswert \(\mu=2,7\) Gramm nutzen und die noch gesuchte Standardabweichung \(\sigma\) als schon bekannt voraussetzen (die Formel werden wir am Ende nach \(\sigma\) umstellen).$$0,87=\Phi\left(\frac{3,0-2,7}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{2,4-2,7}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{0,3}{\sigma}\right)-\Phi\left(-\frac{0,3}{\sigma}\right)$$Wegen der Symmetrie der Glockenkurve gilt: \(\Phi(z)+\Phi(-z)=1\) bzw. \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\), sodass wir die beiden \(\Phi\)-Werte vereinfachen können:$$0,87=\Phi\left(\frac{0,3}{\sigma}\right)-\left(\underbrace{1-\Phi\left(\frac{0,3}{\sigma}\right)}_{=\Phi(-0,3/\sigma)}\right)=2\Phi\left(\frac{0,3}{\sigma}\right)-1$$Das Stellen wir nach dem \(\Phi\)-Wert um:$$2\Phi\left(\frac{0,3}{\sigma}\right)=1,87$$$$\Phi\left(\frac{0,3}{\sigma}\right)=0,935$$Das \(\Phi\) die Standard-Normalverteilung ist, können wir den Wert der Umkehrfunktion \(\Phi^{-1}\) aus denselben Tabellen ablesen bzw. mit dem Rechner ermitteln:$$\frac{0,3}{\sigma}=\Phi^{-1}(0,935)\approx1,514102$$$$\sigma=\frac{0,3}{1,514102}\approx0,198137$$

Comments

Φ(0,3σ)−⎛⎝⎜⎜⎜⎜1−Φ(0,3σ)=Φ(−0,3/σ)⎞⎠⎟⎟⎟⎟=2Φ(0,3σ)−1

kannst du mir diesen schritt bitte nocheinmal verdeutlichen?

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Die Gaußglocke der Standard-Normalverteilung ist symmetrisch um \(z=0\) herum. Mit \(\Phi(z)\) bekommen wir die Fläche unter dieser Glockenkurve über dem Intervall \(]-\infty|z]\). Dann fehlt noch die Fläche über dem Intervall \([z|\infty[\), um die gesamte Fläche der Gaußglocke zu beschreiben.

Wegen der Symmetrie der Gaußglocke ist die Fläche über dem Intervall \([z|\infty[\) genauso groß wie die Fläche über dem Intervall \(]-\infty|-z]\), die wir mit \(\Phi(-z)\) berechnen können. Die gesamte Fläche der Glockenkurve ist also \(\Phi(z)+\Phi(-z)\). Wegen der Normierung der Normalverteilung ist die gesamte Fläche \(=1\). Daher gilt:$$\Phi(z)+\Phi(-z)=1$$Diese Beziehung habe ich in meiner Antwort oben verwendet.