Wie bestimmt man hier eine Basis?

Question

Hi, wie bestimme ich eine Basis nach dieser Aufgabe:

Im \( \mathbb{R} \) -Vektorraum \( \operatorname{Pol}_{3}(\mathbb{R}) \) werde der von
$$ u_{1}=X^{3}-X^{2}+X+3 \quad \text { und } \quad u_{2}=X^{3}-2 X^{2}+X+4 $$
erzeugte Untervektorraum \( U=\left\langle u_{1}, u_{2}\right\rangle \) sowie der von
$$ w_{1}=X^{3}+2 X^{2}-1 \quad \text { und } \quad w_{2}=X^{3}+3 X^{2}-X-3 $$
erzeugte Untervektorraum \( W=\left\langle w_{1}, w_{2}\right\rangle \) betrachtet.
- Man zeige, daß U \( \cap W \) eindimensional ist, und gebe eine Basis \( v \) von \( U \cap W \) an.

 Ich habe schn die zugehörige Matrix aufgestellt, aber weiß nicht, wie ich die zu einer gleichnahmigen Basis machen kann

$$\begin{pmatrix} 1 & 1&-1&-1 \\ -1 & -2&-2&-3 \\1 & 1&0&1 \\3 & 4&1&3 \end{pmatrix}$$

Könntet ihr mir weiterhelfen?

MfG

Pizzaboss

Answer 1

Wende auf die Matrix den Gauss-Algorithmus an, und du bekommst z.B.

3   4  1    3 
0   2   5    6
0  0   1     2
0  0   0     0

Du siehst: rang=3, also ist der

Lösungsraum eindimensional.

Eine Basis findest du, indem du etwa x4=t frei wählst

und dann einsetzt    x3=-2t

2x2 -10t + 6t = 0 ==>    x2 = 2t

und 3x1 +8t -2t + 3t = 0 ==>  x^=-3t

also sind alle Lösungen von der Art (-3t ; 2t ; -2t ; t ) .

Und wenn du nun zu deinem Ansatz zurückgehst:

x1*u1 + x2*u2 = x3*w1+x4*w2

und setzt z.B. für t=1 ein

   -3u1 +2u2 = -2w1 + w2

Bekommst du

       -1              -1
      -1       =      -1
      -1              -1
      -1              -1

also ist ein möglicher Basisvektor in der Polynomschreibweise

-x^3  - x^2 - x  - 1

Comments

Danke für deine Hilfe. Ist wahrscheinlich eine dumme Frage, aber hätte man nicht mit diesem Ansatz den Kern der Matrix berechnet?

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Ansatz für Durchschnitt

( gemeinsame Elemente in beiden Räumen)

x1*u1 + x2*u2 = x3*w1+x4*w2

oder auch

x1*u1 + x2*u2  - x3*w1 - x4*w2 =0

Für den Kern überall "plus"

x1*u1 + x2*u2  + x3*w1 + x4*w2 =0 

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besten Dank, den Ansatz über den Kern würde ich aber doch auch verwenden, wenn ich den Kern einer geg. Matrix bestimmen will, oder?

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Ja, so ist es.