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aufgabe

\( y^{\prime}=\frac{x}{y}, \frac{1-y^{2}}{1-x^{2}} \)

Umformung liefert die Form \( y^{\prime}=\frac{x}{1-x^{2}} \cdot \frac{1-y^{2}}{y} \), d. h. Form \( y^{\prime}=g(x) \cdot h(y) \) und damit Lôsung durch Trennung der Variablen (Formelsammlung 21.2):

\( \int \frac{d y}{h(y)}=\int g(x) \mathrm{dr} \).

Mit \( g(x)=\frac{x}{1-x^{2}} \) und \( h(y)=\frac{1-y^{2}}{y} \) folgt

\( \int \frac{y}{1-y^{2}} d y=\int \frac{x}{1-x^{2}} d x \)

Bestimmung der Integrale durch Integration mittels Substitution \( z=1-x^{2} \cdot \frac{d z}{d x}=-2 x, d x=\frac{d z}{-2 x} \) ?

# 1


Auf analoge Weise erhält man:

\( \int \frac{y}{1-y^{2}} d y=-\frac{1}{2} \ln \left(1-y^{2}\right)+c \).

Damit ergibt sich (unter Zusammenfassung der Integrationskonstanten):

\( \ln \left(1-y^{2}\right)=\ln \left(1-x^{2}\right)+c \)

Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten liefert:

\( e^{\ln \left(0-y^{2}\right)}=c^{\ln \left(-x^{2}\right)+c} \)
\( 1-y^{2}=\left(1-x^{2}\right) e^{c} \) Ist \( e^{c} \) mitty wieder \( C \) Umfonmung liefert:
\( y=\pm \sqrt{1-\left(1-x^{2}\right) c^{c}} \)

#2


zu #1 - gehört das "z" nicht in Betrag?

zu #2 - Ist e^C nicht wieder C?

Avatar von

1 Antwort

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Beste Antwort

Ja, das ist beides richtig. Eigentlich kommt z, bzw. 1-x^2 in Betrag.

 

Ebenfalls ist es üblich e^C als c1 oder zu umzuschreiben. Allerdings nicht als C. Denn das ist schon verbraucht und ist was anderes, als das C bei e^C ;).

 

Grüße

Avatar von 141 k 🚀
zu #2, also ich muss immer die "neue" Konstante durch einen Index kennzeichnen


Was ist wenn z.b:

lnx+C=5x+C

Wenn ich jetzt die linke C auf die rechte Seite bringe muss ich dann auch die "neue" Konstante kennzeichnen?

zu #2, also ich muss immer die "neue" Konstante durch einen Index kennzeichnen

Durch einen Index, oder einen anderen Buchstaben. Beides ist ewas unterschiedliches und muss entsprechend markiert werden.

 

lnx+C=5x+C

Da fehlt mir etwas das drumrum. Hattest Du gerade integriert? Es ist üblich dann nur auf der rechten Seite ein "+C" anzufügen.

Auch wenn da eigentlich steht:

lnx+C1=5x+C2  |-C1

lnx=5x+C2-C1 und dann C2-C1 = C

Ja ich hatte integriert.

jetzt habe ich es verstanden:

lnx=5x+C2-C1 und dann C2-C1 = C

 

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