\( y^{\prime}=\frac{x}{y}, \frac{1-y^{2}}{1-x^{2}} \)
Umformung liefert die Form \( y^{\prime}=\frac{x}{1-x^{2}} \cdot \frac{1-y^{2}}{y} \), d. h. Form \( y^{\prime}=g(x) \cdot h(y) \) und damit Lôsung durch Trennung der Variablen (Formelsammlung 21.2):
\( \int \frac{d y}{h(y)}=\int g(x) \mathrm{dr} \).
Mit \( g(x)=\frac{x}{1-x^{2}} \) und \( h(y)=\frac{1-y^{2}}{y} \) folgt
\( \int \frac{y}{1-y^{2}} d y=\int \frac{x}{1-x^{2}} d x \)
Bestimmung der Integrale durch Integration mittels Substitution \( z=1-x^{2} \cdot \frac{d z}{d x}=-2 x, d x=\frac{d z}{-2 x} \) ?
# 1
Auf analoge Weise erhält man:
\( \int \frac{y}{1-y^{2}} d y=-\frac{1}{2} \ln \left(1-y^{2}\right)+c \).
Damit ergibt sich (unter Zusammenfassung der Integrationskonstanten):
\( \ln \left(1-y^{2}\right)=\ln \left(1-x^{2}\right)+c \)
Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten liefert:
\( e^{\ln \left(0-y^{2}\right)}=c^{\ln \left(-x^{2}\right)+c} \)
\( 1-y^{2}=\left(1-x^{2}\right) e^{c} \) Ist \( e^{c} \) mitty wieder \( C \) Umfonmung liefert:
\( y=\pm \sqrt{1-\left(1-x^{2}\right) c^{c}} \)
#2
zu #1 - gehört das "z" nicht in Betrag?
zu #2 - Ist e^C nicht wieder C?
