Frage zum unitären Skalarprodukt?

Question

Hi,
ich gehe gerade einen Lückentext durch und habe einen Satz so ausgefüllt:

4.Ist v ein unitärer Raum mit Orthonoalbasis \( B=(v 1, \ldots, v n), \) und ist
\( x=\sum \limits_{j=1}^{n} y_{j} v_{j} \)
, so gilt \( \left\langle x, v_{1}\right\rangle=0 . \) Mit den Skalarprodukten \( \langle x, vl\rangle \) für IEK \( ^{\text {mxn }} \) berechnet man die Norm von x
also durch
\( I I x I I=\sqrt{<\sum \limits_{j=1}^{n} y_{j} v_{j}, \sum \limits_{j=1}^{n} y_{j} v_{j}>} \)
(Über den zweiten Eintrag sollte eigentlich ein komplex-konjugiert-Strich, ich weiß allerdings nicht wie man das mit Latex macht)

Das ist allerdings die eigentliche Lösung dazu und ich kann die ausgefüllten Lücken jedoch nicht so ganz nachvollziehen:

Text erkannt:

Ist \( v \) ein unitärer Raum mit Orthonoalbasis \( B=(v 1, \ldots, v n), \) und ist
\( \sum \limits_{j=1}^{n} \lambda_{j} v_{j}=x \)
, so gilt \( < X_{1} V_{l}>= \)
\( \sum \limits_{j=1}^{n} \lambda_{j}<v_{j}, v_{l}>=\lambda_{l} \)
Mit den Skalarprodukten
\( <x, v_{l}> \)
für
\( l \in\{1, \dots, n\} \)
berechnet man die Norm von x also durch
\( I I x I I=\sqrt{\sum \limits_{l=1}^{n} I<x, v_{l}>I^{2}} \)

Mein erstes Problem mit der Lösung ist, dass ich nicht verstehe, wo die Betragsstriche geblieben sind. Aber das Hauptproblem von mir ist, dass ich nicht verstehe, was hier gemacht wurde:

Text erkannt:

so gilt \( \left.\subset x_{1} v_{2}\right\rangle= \)
\( \sum \limits_{j=1}^{n} \lambda_{j}<v_{j}, v_{l}>=\lambda_{l} \)

Wieso darf ich hier vl in die Summe ziehen?

VG:)

Comments

Hallo,

"Wieso darf ich hier vl in die Summe ziehen?"

Das ist eine Eigenschaft des Skalarprodukts, die unmittelbar in der Definition eines Skalarprodukts festgehalten ist. Wenn Du das nicht nachvollziehen kannst, schreib mal Eure Definition von Skalarprodukt hierhin.

Gruß

Answer 1

Aloha :)

Die Basis \(B=(\vec v_1,\ldots,\vec v_n)\) ist eine Orthonormalbasis. Das heißt, die Vektoren haben alle die Länge \(1\) und stehen paarweise senkrecht aufeinander. Das kann man formal zusammenfassen:$$\langle \vec v_i|\vec v_k\rangle=\left\{\begin{array}{l}1 &\text{falls} & i=k\\0 &\text{falls} & i\ne k\end{array}\right.$$

Daher gilt zunächst wegen der Linearität des Skalarproduktes:$$\langle \vec x|\vec v_l\rangle=\left<\left.\sum\limits_{j=1}^n\lambda_j\vec v_j\right|\vec v_l\right>=\sum\limits_{j=1}^n\left<\left.\lambda_j\vec v_j\right|\vec v_l\right>$$

Jetzt kommt eine Ungewöhnlichkeit. Wir befinden uns in einem unitären Raum, das heißt, wir müssen auch das unitäre Skalarprodukt verwenden. Bei diesem muss eine der beiden Komponenten komplex konjugiert werden. Normalerweise ist das die erste Komponente. Das kann aber bei dir nicht sein, weil dann nämlich nicht \(\lambda_j\) vor das Skalarprodukt gezogen würde, sondern das komplex konjugierte \(\lambda_j^\ast\). Daher habt ihr vermutlich die zweite Komponente des Skalarproduktes als das komplex konjugierte definiert. Daher können wir \(\lambda_j\) aus der ersten Komponente ausklammern:$$\langle \vec x|\vec v_l\rangle=\sum\limits_{j=1}^n\lambda_j\left<\left.\vec v_j\right|\vec v_l\right>$$Bei der Summation greift nun die Orhonormiertheit. Für alle \(j\), die ungleich \(l\) sind, verschwindet das Skalarprodukt. Übrig bleibt nur der Summand, bei dem \(j=l\) ist:$$\langle \vec x|\vec v_l\rangle=\sum\limits_{j=1}^n\lambda_j\left<\left.\vec v_j\right|\vec v_l\right>=\lambda_l$$

Die Norm von \(\vec x\) ist:$$\parallel \vec x\parallel=\sqrt{\left<\left.\vec x\right|\vec x\right>}=\sqrt{\left<\vec x\left|\sum\limits_{j=1}^n\lambda_j\vec v_j\right.\right>}=\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n\left<\vec x\left|\lambda_j\vec v_j\right.\right>}=\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n\lambda_j^\ast\left<\vec x\left|\vec v_j\right.\right>}$$Jetzt nutzen wir unsere Formel von oben, allerdings mit Index \(j\) anstatt Index \(l\) und bekommen:$$\parallel\vec x\parallel=\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n\lambda_j^\ast\,\lambda_j}=\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n\left|\lambda_j\right|^2}$$

Comments

Cool, vielen Dank dass du das so hilfreich zusammengeschrieben hast :D

Dürfte ich das λ_j eigentlich auch im unitären Raum herausziehen? Da müsste ich es dann komplex konjugieren oder?

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tut mir leid, ich meinte im euklidischen Raum

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Im euklidischen Raum ist das Skalarprodukt linear, d.h. du kannst Konstanten einfach vor das Skalarprodukt ziehen. Im unitären Raum muss man einen Vektor des Skalar-Produktes komplex konjugieren. Welcher das ist, ist Definitionssache. Meistens wählt man den ersten. Das bedeutet:$$\langle\lambda\,\vec x|\vec y\rangle=\lambda^\ast\langle\vec x|\vec y\rangle\quad;\quad\langle\vec x|\lambda\,\vec y\rangle=\lambda\langle\vec x|\vec y\rangle$$Ihr scheint das Skalarprodukt so definiert zu haben, dass der zweite Vektor komplex konjugiert wird:$$\langle\lambda\,\vec x|\vec y\rangle=\lambda\langle\vec x|\vec y\rangle\quad;\quad\langle\vec x|\lambda\,\vec y\rangle=\lambda^\ast\langle\vec x|\vec y\rangle$$