Extrempunkte einer Funktionsschar bestimmen, den gleichen Abstand zur x-Achse haben.

Question

Aufgabe:

p_a(x) = a·x⁴ - 6·a² · x² +1      x∈ℝ und a≠0

Für bestimmte Werte von a hat der Graph p_a  mehr als einen Extrempunkt. Bestimmen Sie für diesen Fall den Parameter a so, dass die Abstände aller Extrempunkte der Graphen von p_a  zur x-Achse gleich sind.  

Problem/Ansatz:

Ich verstehe noch nicht so wirklich, wie ich diese Bedingung erfülle, dass die Extrempunkte alle den gleichen Abstand zur x- Achse haben.

Die Extrempunkte habe ich schon ermittelt über p'_a (x) = 0 mit    x₁  = 0    x₂  = √3a   x₃  = -√3a

Für die restliche Ausfgabe steht in meinen Lösungen, dass dafür |pa(x₁)| = |pa(x₂)| = |pa(x₃)| gelten muss.

Meine Frage ist warum das gelten muss, damit ich die Bedingung erfüllen kann? Wie kommt man auf diesen Ansatz? Ich komme da gerade nicht so richtig hinter.

Answer 1

Aloha :)

Bei dieser Aufgabe reicht es, die Funktionsgleichung umzuformen:$$p_a(x)=ax^4-6a^2x^2+1=a(x^4-6ax^2)+1=a(x^4-6ax^2+9a^2-9a^2)+1$$$$\phantom{p_a(x)}=a(x^4-6ax^2+9a^2)-9a^3+1=\underline{a(x^2-3a)^2+1-9a^3}$$Die Funktion hat ihre Extrema, wenn das Quadrat \((x^2-3a)^2\) seine Extrema hat, also bei:$$x_1=0\quad;\quad x_2=-\sqrt{3a}\quad;\quad x_3=\sqrt{3a}\quad\text{für}\quad a>0$$Diese 3 Extrema liegen nur vor, wenn \(a>0\) ist, denn sonst ist \(\sqrt a\) nicht definiert. Wir bestimmen die Funktionswerte bei den Extrema:$$p_a(0)=a(0^2-3a)^2+1-9a^3=9a^3+1-9a^3=1$$$$p_a(\pm\sqrt{3a})=a((\pm\sqrt{3a})^2-3a)^2+1-9a^3=1-9a^3$$ Das Extremum bei \((0|1)\) hat den Abstand \(1\) von der \(x\)-Achse. Wir müssen nun \(a\) so bestimmen, dass die beiden anderen Extrema bei \((\pm\sqrt{3a}|1-9a^3)\) auch den Abstand \(1\) von der \(x\)-Achse haben. Wegen \(a>0\) müssen wir diese Punkte unterhalb der \(x\)-Achse suchen, also muss der \(y\)-Wert der anderen Extrema \((-1)\) sein:$$-1\stackrel{!}{=}1-9a^3\quad\Leftrightarrow\quad9a^3=2\quad\Leftrightarrow\quad a=\sqrt[3]{\frac{2}{9}}$$

Answer 2

dass die Abstände aller Extrempunkte der Graphen von p_a  zur x-Achse gleich sind.

Der Abstand eines Punktes zur x-Achse ist der Betrag der y-Koordinate.

Für die restliche Ausfgabe steht in meinen Lösungen, dass dafür |p_a(x₁)| = |p_a(x₂)| = |p_a(x₃)| gelten muss.

p_a(x₁) ist die y-Koordinate des Punktes auf dem Graphen, dessen x-Koordinate x₁ ist. |p_a(x₁)| ist der Betrag dieser y-Koordinate. Entsprechendes gilt für |p_a(x₂)| und |p_a(x₃)|.

Answer 3

pa(x) = a·x^4 - 6·a^2·x^2 + 1

Den Abstand eines Extrempunktes und die Art des Extremas können wir hier direkt ablesen.

An der Stelle x = 0 hat der Graph einen Hochpunkt und der Abstand dieses Hochpunktes zur x-Achse ist mit Sicherheit f(0) also 1.

Also bestimmen wir auch einen Tiefpunkt so, dass er den Abstand 1 hat.

pa'(x) = 4·a·x^3 - 12·a^2·x = 4·a·x·(x^2 - 3·a) = 0 --> x = ±√(3·a)

pa(√(3·a)) = 1 - 9·a^3 = -1 --> a = (2/9)^(1/3)

Skizze

~plot~ 6^(1/3)·x^4/3-2·6^(2/3)·x^2/3+1;1;-1 ~plot~

Answer 4

Der Abstand von der x-Achse ist der Funktionswert von
pa ( x ) .

Der Abstand ist absolut zu sehen
| pa ( x ) |  ( -3 und +3 wäre derselbe Abstand ).

Mal probieren
pa(x) = a·x^4 - 6·a^2 · x^2 +1
pa(0) = a·x^4 - 6·a^2 · 0^2 +1 = 1

Der Abstand ist 1

 x2  = √3a
pa(x) = a·x^4 - 6·a^2 · x^2 +1
pa(x) = a·[√(3a) ] )^4 - 6·a^2 · [√(3a) ] ^2 +1

a·[√(3a) ] )^4 - 6·a^2 · [√(3a) ] ^2 +1 = 1

Hier kommt leider nichts Vernünftiges für a heraus
Ebenso bei ... = -1

Comments

Zum Schluß muß irgendwo bei mir
noch ein Fehler sein. Ich schaue nachher
einmal danach.