Gradienteaufgabe und weitere Berechnung

Question

Aufgabe:

Hallo, ich hebe eine Funktion:

f(x, y)=1+x^2 +y^2 +e^xy

1. Berechechnen sie den Gradienten

2. In welche Richtung ist an der Stelle x=1,y=1 die Steigung maximal.

3. In welche Richtung verschwindet die Ableitung an der Stelle x=1, y=1

Problem/Ansatz:

1. grad f (2x, 2y)

2. grad f * v/|v| gerechnet, da kommt bei mir 2,828 als Ergebnis.

3. Weiß ich leider nicht, würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

Aloha :)

1) Hier musst du die Funktionsgleichung partiell nach \(x\) und nach \(y\) ableiten:$$\text{grad}f(x,y)=\text{grad}(1+x^2+y^2+e^{xy})=\binom{2x+ye^{xy}}{2y+xe^{xy}}$$

2) Der Gradient zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs. Du musst daher den Punkt \((1|1)\) in den Gradienten einsetzen und dessen Richtungsvektor bestimmen (also durch den Betrag dividieren):$$\text{grad}f(1,1)=\binom{2+e}{2+e}\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{\sqrt2}\binom{1}{1}$$

3) Jetzt suchst du einen Normalenvektor, der multipliziert mit dem Gradienten \(0\) ergibt:$$0\stackrel{!}{=}\binom{2+e}{2+e}\cdot\binom{n_1}{n_2}\quad\Rightarrow\quad\binom{n_1}{n_2}=\pm\frac{1}{\sqrt2}\binom{1}{-1}$$

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Also habe ich beim Betrag bei 2. falsch gerechnet. Habe nehmlich sowas im Internet gelesen aber es  irgendwie falsch interpretiert. Dankeschön.

Answer 2

Hallo,

Es gilt J_f(x,y)=(2x+ye^xy, 2y+xe^xy). Der Gradient zeigt immer in die Richtung des stärksten Anstiegs, daher ist die Steigung in Richtung J_f(1,1)*v/||v|| maximal. Weiter gilt:$$\partial _ v f(1,1)=J_f(1,1)\cdot \vec{v}=\begin{pmatrix} 2+e\\2+e \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix}\overset{!}=0$$ und damit fällt die Richtungsableitung in \(\vec{v}=(1,-1)^T\) weg, bzw. genauer auch für alle zu \(\vec{v}\) kollinearen Vektoren.