Wert a gesucht bei Polynomfunktion 2. Grades

Question

Aufgabe:

1.) Für welche a∈R hat die Funktion f(x)=x²+3*ax+18 genau 2 Nullstellen, eine bzw. keine Nullstelle

2.) Unter welchen Bedingungen hat die Funktion g mit g(x)= x²+ax+b genau 2 Nullstellen, eine bzw. keine Nullstelle

Problem/Ansatz:

Also ich weiß, dass man mit der kleinen Lösungsformel arbeiten muss (x1,2=± √(p/2)²−q)

Auch ist mir klar dass gilt:

Der Wert unter der Wurzel ist größer als Null. Es gibt also zwei Lösungen.
Der Wert unter der Wurzel ist gleich Null.  Es gibt also genau eine Lösung.
Der Wert unter der Wurzel ist kleiner als Null.Es gibt somit keine reelle Lösung.

Was ich aber bei Nummwe1.) nicht verstehe ist, wie man auf den Wert a kommt damit diese Bedingungen erfüllt sind.

Bei Nummer 2.) verstehe ich nicht, wie es möglich ist keine keine Lösung zu bekommen.

 es ist ja (p/2)²  würde ich einen negativen Wert einsetzen für p würde immer noch ein positiver Wert rauskommen, oder nicht?

Ich habe versucht vershiedene Zahlen einzusetzen und denke, dass diese Methode viel Zeit beansprucht und das wäre bei Prüfngen nicht so ideal. Vielleicht kann jmd. mir eine andere Möglichkeit, um den Wert a herauszufinden, vorstellen. (wenn es eine gibt)

DANKEE IM VORAUS

Answer 1

fa(x)=x²+3*a*x+18  mit p=3*a und q=18  in die p-q-Formel eingesetzt

x1,2=-(3*a)/2+/-Wurzel((3*a/2)²-18)=-1,5*a+/-Wurzel(9/4*a²-18)

0=9/4*a²-18

a²=18*4/9=8

a1,2=+/-Wurzel(8)=+/-2,828..

also a=2,828  oder a=-2,828 → eine doppelte Nullstelle (Graph berührt die x-Achse)

-2,828<a<2,828  keine reelle Nullstelle (keine Schnittstelle mit der x-Achse)

a<-2,828 dann 2 reelle Nullstellen

Comments

Vielen Dank für diese Erklärung !!!

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a<-2,828 dann 2 reelle Nullstellen

Der Fall a>2,828 fehlt.

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Problem:Ich mache das hier als Hobby und weil mir die Schüler leid tun.

Meine Beiträge sind mit der heißen Nadel gestrickt.

Ich bekomme für meine Arbeit kein Geld und deshalb müssen die Fragesteller den Beitrag auf Tipp- und Rechenfehler prüfen.

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@fjf

Ich mache das hier auch als Hobby ohne Bezahlung. Wie du mit meinem Hinweis umgehst, musst du selbst wissen. Ich würde an deiner Stelle die Antwort ergänzen.

Schönen Abend noch.

Answer 2

Also ich weiß, dass man mit der kleinen Lösungsformel arbeiten muss

Dann tue es doch auch. Wie lauen die "beiden" Lösungen bei a) , und wie lauten sie bei b)?
Wenn du dieses beiden Lösungen hast können wir uns darüber Gedanken machen, ob sie auch existieren oder nicht.

Answer 3

Die Diskriminante bei der quadratischen Gleichung
a·x^2 + b·x + c = 0
ist gemäß der abc-Formel
D = b^2 - 4·a·c

x^2 + 3·a·x + 18 = 0

Diskriminante

(3·a)^2 - 4·1·18 > 0 → 2 Nullstellen für a < - 2·√2 ∨ a > 2·√2
(3·a)^2 - 4·1·18 = 0 → 1ne Nullstelle für a = - 2·√2 ∨ a = 2·√2
(3·a)^2 - 4·1·18 < 0 → Keine Nullstelle für - 2·√2 < a < 2·√2

Answer 4

Zu 2)

$$ D=\frac{p^2}{4}-q \text{ bzw. } D=\frac{a^2}{4}-b$$

Nun kommt es auf D<0; d=0 und D>0 an.

$$ D=0 \Rightarrow \frac{a^2}{4}-b=0 \Rightarrow a^2=4b $$

usw.