Radioaktiver Zerfall N'(t)=-0,2*e^-0,04t

Question

Hallo ich hab beim Bearbeiten dieser Aufgabe ziemliche Schwierigkeiten:

Die Zerfallsrate eines radioaktiven Präparates ist gegeben durch die Funktion N'(t)=-0,2*e^(-0,04*t) (t in Tagen, N'(t) in mg/Tag)

a) Geben Sie die Bestandsfunktion N(t) an.

b) Wann sinkt die Zerfallsrate unter 0,01 mg/Tag.

c) Bestimmen Sie die Halbwertszeit des Präparates.

d) Wann ist nur noch 1mg des Präparates vorhanden?

e) Wie groß ist die durchschnittliche Zerfallsrate der ersten 10 Tage.

Bei a) muss ich ja einfach nur Integrieren, aber wie bekomme ich das +C raus, wenn ich kein Startwert des Präparates in mg habe?

Für die anderen Aufgaben bräuchte ich Ansätze

Danke schon mal im Voraus

Answer 1

aber wie bekomme ich das +C raus, wenn ich kein Startwert des Präparates in mg habe?

Eine kluge Frage.

Aber überlege mal: Wenn du einen Summanden C ungleich 0 hättest, würde das bedeuten, dass du einen festen nicht zerfallenden Anteil behalten würdest, aber alle Atomkerne des speziellen Isotops zerfallen irgendwann.

Mathematisch hast du völlig recht, aber physikalisch geht das nicht.

Comments

Das heißt, in dem Fall gibt es kein C?

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Doch, aber es ist 0.

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Doch, aber es ist 0.

kann man so wohl nicht sagen, denn

Bei a) muss ich ja einfach nur Integrieren

Es ist aber ein bestimmtes Integral und bei dem spielt die Integrationskonstante C gar keine Rolle.

Es ist   N(t) = N₀ + ΔN  =  N₀ + ₀∫^t N'(τ) dτ  =  N₀ + [5e^-0,04τ + C]₀^t  = 
  =  N₀ + (e^-0,04t+C) - (5+C)  =  N₀ + e^-0,04t - 5

Irgendwann erwischt es jeden mal, also ist  N(∞) = 0  und deshalb also 
N₀ + 0 - 5  =  0, also letztlich  N₀ = 5.

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Edit :  Zwei Faktoren 5 verschlampt, ändert aber nichts am Ergebnis :

Es ist  N(t) = N_{0} + ΔN  =  N_{0} + _{0}∫^{t} N'(τ) dτ  =  N_{0} + [5e^{-0,04τ} + C]_{0}^{t} 
  =  N_{0} + (5e^{-0,04t}+C) - (5+C)  =  N_{0} + 5e^{-0,04t} - 5

Answer 2

a.)
N ( t ) = 5 * e^(-0.04*t)
c.)
jede Exponentialfunktion kann in eine andere
Exponentialfunkiton mit anderer Basis umgewandelt werden.
Mit der Basis 1/2 geht die Brechnung der Halbwertzeit
am einfachsten.

e^(-0.04*t) = 1/2 ^( x )  | ln ( )
-0.04 * t = x * ln(1/2)
x = 0.0577 * t
1/2 ^( 0.0577 * t)
oder
1/2 ^(t/17.33)

t = 0  : 1
t = 17.33 :  1/2 ^(17.33/17.33) = 1/2 ^1 = 1/2

Nach 17.33 Jahren ist nur noch die Hälfte
der ursprünglichen Menge vorhanden ( Halbwertzeit )

Es ist schon spät.

Bin morgen gern weiter behilflich.