Tangentengleichungsproblem

Question

Hallo habe zwei Aufgaben die ich bis Montags beherrschen sollte, da eine wichtige Arbeit ansteht, nur leider kein Plan wie ich vorgehen soll . Deswegen mal hier zum grübeln für die schlauen Köpfe unter euch. Hoffe jemand kann mir da behilflich sein.

1) Vom Punkt R(1/8) wird eine Tangente an das Schaubild der Funktion h mit   h(x)=0,25x³-x²+2 gelegt.

 Berechnen Sie den Berührpunkt und geben Sie die Tangentengleichung an.

 

2) a) Geben Sie f(2) und f '(2) an.                              

    b) Was können Sie über das

       Vorzeichen von f ''(2) sagen 

       (mit Begründung)

 

Comments

  gibt es eine Formel für die Funktion f(x) oder soll alles
aus der Skizze abgelesen werden ?

  mfg Georg

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---------------------- gelöscht -----------------------

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  die Anwort vom Mathe_coach stimmt soweit.

  Die Tangente würde lauten t (x ) = 3.578 * x + 4.42.

  Ich weiß nur nicht ob dir das alles was nützt wenn
du die grundlegenden Überlegungen der Berechnung
nicht kennst.

  Bei Bedarf kann ich eine Skizze hier einstellen.

  mfg Georg

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Du hast Recht! Eine erklärende Skizze wäre nett.

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Ja, das wäre super!!!

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An den Vorgängerkommentar,

  siehe bei Antwort 2.

  mfg Georg

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mit Skizze. mfg Georg

Answer 1

  die Skizze links zeigt dir eine beliebige Funktion f(x) sowie
den Punkt P1 ( 1 l 8 ) von dem eine Tangente an die
Kurve gelegt wird. Die Tangente berührt die Funktion im
Punkt P2.

  Die Koordinaten von P2 möchten wir zunächst
ermitteln.  

  Die Skizze rechts zeigt dir ein Steigungsdreieck :

 - Δ y = f(x) ( der Funktionswert an der Stelle x ) - 8
 - Δ x = x - 1
   
  Der Winkel α mit tan ( α ) = Δ y / Δ x

  Dieselbe Steigung habe ich auch am Punkt P2. Dort ist

  tan ( α ) = f ´( x ) = 1.Ableitung

  Zusammengefaßt gilt

  tan ( α ) = Δ  y  / Δ  x  = f ´ ( x )

oder ausformuliert

  (  f ( x ) - 8 ) / ( x - 1 ) = f ´ ( x )

  Dies ist die grundlegende Überlegung.

  Weiter geht´s in der Antwort vom Mathe_coach. f ( x )
entspricht  h ( x ).

  Jetzt muß nur noch eine Funktion 3.Grades nach x auf-
gelöst werden.  Hier bietet sich z.B. das Newtonsche
Näherungsverfahren  an.

  Alternativ kann auch z.B. Wolframs Computer-Mathe-
programm genutzt werden.

  Mit Hilfe der nunmehr bekannten Punkte P1 und P2 oder
f ´( x ) läßt  sich die Tangentengleichung berechnen.

  Bei Fragen wieder melden.

  mfg Georg
 

Comments

Hallo vielen Dank für die Hilfe.

Habe Aufgabe zwei gelöst:

h(x)=0,25x³-x+2     R(1/8)

h '(x)=0,75x²-1

y=f '(u)(x-u)+f '(u)

8=0,75x²-1(1-x)+0,25x³-x+2   /-8

u=-2       Tangente in GTR eingegeben kommt raus als Gleichung: y=2x+6

Zur zweiten Aufgabe versuch ich nochmals eine genauere skizze zu zeichnen

Answer 2

1) Vom Punkt R(1/8) wird eine Tangente an das Schaubild der Funktion h mit   h(x)=0,25x³-x²+2 gelegt.

(h(x) - 8)/(x - 1) = h'(x)

(h(x) - 8) = h'(x) * (x - 1)

0.25·x^3 - x^2 + 2 - 8 = (0.75·x^2 - 2·x) * (x - 1)

0.25·x^3 - x^2 + 2 - 8 = 0.75·x^3 - 2.75·x^2 + 2·x

0.25·x^3 - x^2 + 2 - 8 = 0.75·x^3 - 2.75·x^2 + 2·x

0.5·x^3 - 1.75·x^2 + 2·x + 6 = 0

x = -1.225558946

h'(-1.225558946) = 0.75·x^2 - 2·x = 3.577613939

Schau mal ob die Funktion bzw. der Punkt so richtig ist. Ich wunder mich das hier keine schöne Lösung heraus kommt.

Comments

Für die 2. Aufgabe ist der Graph zu schlecht gezeichnet.

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hallo hier nochmal ein foto der zeichnung

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2) a) Geben Sie f(2) und f'(2) an.

    b) Was können Sie über das Vorzeichen von f''(2) sagen (mit Begründung)

f(2) = 1

f'(2) = 2.75 (etwa)

f''(2) > 0, weil der Graph links gekrümmt, d.h. zum positiven Bereich hin gekrümmt ist.