Dreieck aus einer Ellipsentangente und den Koordinatenachsen

Question

Aufgabe:

Welches rechtwinklige Dreieck, das von einer Ellipsentangente und den Koordinatenachsen gebildet wird, hat die kleinste Fläche?

Problem/Ansatz:

Die kürzeste Tangente im 1. Quadranten hat die Länge (a+b) der Halbachsen. Liegt damit auch die kleinste Dreieckfläche fest?

Comments

Noch ein paar Hinweise:

\(g\) sei eine Gerade in \(\mathbb{R}^2\) mit $$g:\quad \vec p^T \vec x = 1$$\(g\) ist genau dann eine Tangente an eine Ellipse der Form $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$$wenn gilt, dass$$p_x^2a^2 + p_y^2b^2= 1$$In der Desmos-Szene unten kannst Du \(\vec p\) (lila) mit der Maus verschieben und somit die Tangente (grün) an der Ellipse (blau) verändern.

rechts wird die Fläche \(A\) des besagten Dreieck angezeigt. Es stellt sich genau dann ein Minimum der Fläche \(A\) ein, wenn \(\vec p\) senkrecht auf der Verbindungsline (schwarz gestrichelt) der beiden Schnittpunkte der Ellipse mit den positiven Koordinatenachsen steht.

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Die Aufgabe entspring der Extremwertaufgabe 869 : Gib die Gleichungen jener Tangenten der ellipse b^2x^2 + a^2y^2 =  a^2b^2  an, die mit den Achsen Dreiecke vom kleinsten Inhalt bilden!

Als Grundlage habe ich die Tangente, für die der Abschnitt zwischen den Koordinatenachsen minimale Länge hat gewählt. Der ist die Summe a+b (a größer b) Begrenzt diese Tangente auch das kleinste rechtwinklige Dreieck im 1.Quadranten ?

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Ist diese Verbindungslinie der Schnittpunkte der Ellipse mit den Koordinatenachsen paralell zu der Tangente an die Ellipse ?

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Ist diese Verbindungslinie der Schnittpunkte der Ellipse mit den Koordinatenachsen paralell zu der Tangente an die Ellipse ?

Oops! ich hatte es nicht explizit geschrieben, da ich es für selbstverständlich gehalten habe.

Mit \(g:\space \vec p^T \vec x = 1\) steht \(\vec p\) automatisch senkrecht auf \(g\) (Normalengleichung einer Geraden). Und wenn das Minimum sich einstellt, wenn \(\vec p\) senkrecht auf der Verbindungsline der beiden Schnittpunkte der Ellipse mit den positiven Koordinatenachsen steht, dann müssen natürlich in diesem Fall \(g\) - also die Tangente - und besagte Verbindungslinie parallel verlaufen.

Als Grundlage habe ich die Tangente, für die der Abschnitt zwischen den Koordinatenachsen minimale Länge hat gewählt. Der ist die Summe a+b (a größer b) Begrenzt diese Tangente auch das kleinste rechtwinklige Dreieck im 1.Quadranten ?

Na ja - warum sollte der kürzeste Tangentenabschnitt auch das minimale Dreieck begrenzen. Benutzt man den Ansatz \(\vec p^T\vec x=1\), so muss man für die Fläche \(A\) den Ausdruck$$A = \frac{1}{2p_xp_y} \to\min\quad \implies \frac{p_y}{p_x} = \frac{a}{b}$$minimieren und für die Strecke \(s\) $$s = \sqrt{\frac{1}{p_x^2} + \frac{1}{p_y^2}} \to\min\quad \implies \left(\frac{p_y}{p_x}\right)^2 =\frac{a}{b}$$Und damit erhält man auch zwei unterschiedliche Ergebnisse. Letzteres führt zu den Schnittpunkten der Tangente mit den Koordinatenachsen (ich betrachte nur den 1.Qudranten) von $$S_{x}=\left(\sqrt{ab+a^{2}},0\right),\quad S_{y}=\left(0,\sqrt{ab+b^{2}}\right)$$und damit zu einer minimalen Streckenlänge von \(s_{\min} = a+b\).

Aber das ist eben nicht die gleiche Tangente wie beim minimalen Dreieck. Ich habe den kürzesten Tangentenabschnitt oben im Desmos-Script als rote Strecke hinzu gefügt.

Answer 1

Die kürzeste Tangente im 1. Quadranten hat die Länge (a+b)  der Halbachsen. Liegt damit auch die kleinste Dreieckfläche fest?

Das ist nach einer Skizze wohl nur der Fall, wenn a = b gilt, also wenn die Ellipse ein Kreis ist.

Aber du sollst hier sicher nicht raten, sondern rechnen oder. Also ich hätte heraus, wenn die Achsenabschnitte der Tangente bei √2·a und √2·b liegen, liegt das Flächenkleinste Dreieck vor.

Das ist eine schöne Aufgabe für ein Modulares Mathematik System (MMS) bzw. ein Computer Algebra System (CAS).

Wenn du nicht weißt, wie du da vorgehen kannst, kann ich gerne helfen. Zunächst könntest du eine Gleichung für die Tangente aufstellen. Das musste man ja bereits für das erste Problem haben und sollte im Zweifel bereits vorliegen

Answer 2

Tangentengleichung:

\(y\cdot\sqrt{9-\frac{9}{25}u^2}=9-\frac{9}{25}x\cdot u \)

Schnitt mit der x-Achse:

\(0\cdot\sqrt{9-\frac{9}{25}u^2}=9-\frac{9}{25}x\cdot u \)

\(9-\frac{9}{25}x\cdot u=0\)

\(\frac{9}{25}x=\frac{9}{u}\)    

\(x=\frac{25}{u}\)   

Schnitt mit der y-Achse:

\(y\cdot\sqrt{9-\frac{9}{25}u^2}=9-\frac{9}{25}\cdot 0\cdot u=9 \)

\(y=\frac{9}{\sqrt{9-\frac{9}{25}u^2}} \)

\(A(u)=0,5\cdot \frac{25}{u}\cdot \frac{9}{\sqrt{9-\frac{9}{25}u^2}} \)

\(A'(u)=0 \)

\(u=\frac{5}{\sqrt{2}} \)

\(x=\frac{5}{\sqrt{2}} \)

\(y^2=9- \frac{9}{25}x^2 \)    \(y^2=9- \frac{9}{25} \cdot (\frac{5}{\sqrt{2}})^2=\frac{9}{2} \)

\(y=\frac{3}{\sqrt{2}} \)

Tangentengleichung:

\(y\cdot\sqrt{9-\frac{9}{25} \cdot (\frac{5}{\sqrt{2}})^2}=9-\frac{9}{25}x\cdot \frac{5}{\sqrt{2}} \)