Wie stelle ich die geradengleichung auf?

Question

Aufgabe:

Eine dreiseitige Pyramide ist durch die Punkte A(0/-2/0), B(3/1/1), C(1/2/1), D(1/1/3) festgelegt.

Ermitteln sie eine Gleichung der geraden g, die auf der Ebene E senkrecht steht und durch den Punkt A geht.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir sehr unsicher wie ich die Gleichung aufstelle

Comments

Wie ist \(E\) definiert? Wahrscheinlich liegen drei der vier Punkte in \(E\) - welche?

Answer 1

BC = [-2, 1, 0]

BD = [-2, 0, 2]

k·N = BC x BD = [2, 4, 2] = 2·[1, 2, 1]

g: X = A + r·N = [0, -2, 0] + r·[1, 2, 1]

Skizze

Comments

Vielen Dank! Jetzt habe ich verstanden wie das vor sich geht :)

Answer 2

Falls die Punkte B, C und D die Ebene E festlegen, ist dies die gesuchte Geradengleichung: X=\( \vec{OA} \) +λ·(\( \vec{BC} \) ×\( \vec{BD} \) ).

Answer 3

Dreipunktgleichung der Ebene anwenden

E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)

die e Punkte sind A(ax/ay/az) und B(bx/by/bz) und C(cx/cy/cz)  alle 3 Punkte liegen auf der gesuchten Ebene und liegen nicht auf einer Geraden.

Aus der Dreipunktgleichung von E: ergibt sich die Vektorielle Parametergleichung der Ebene

E: x=a+r*u+s*v

u=b-a

v=c-a

Aus u(ux/uy/uz) und v(vx/vy/vz)  kann man den Normalenvektor n(nx/ny/nz) berechnen,der senkrecht auf der Ebene steht

a kreuz b=n   iste das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) siehe Mathe-Formelbuch

andere Möglichkeit um den Normalenvektor zu ermitteln ist das Skalarprodukt

a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0

1) u*n=ux*nx+uy*ny+uz*nz=0

2) v*n=vx*nx+vy*ny+vz*nz=0

wir setzen nz=1  ergibt

1) ux*nx+uy*ny=-uz

2) vx*nx+vy*ny=-vz

nun haben wir ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit den 2 Unbekannten ,nx und ny und 2 Gleichunge,also lösbar

ergibt n(nx/ny/1)  in die Gerade eingesetzt,die durch den Punkt A(...) geht

Gerade g: x=(ax/ay/az)+r*(nx/ny/1)  steht  senkrecht auf der Ebene nennt man auch Lotgerade.