Wieso muss ich die Eigenvektoren normieren?

Question

ich suche eine Matrix X, sodass \( X^{T} A X \) Diagonalgestalt hat. Wobei

\( A=\left(\begin{array}{cc}7 & 3 \sqrt{3} \\ 3 \sqrt{3} & 13\end{array}\right) \)

 Ich bin nun so vorgegangen, dass ich die Eigenvektoren von A zu einer Matrix zusammengefügt habe, was auch funktioniert hat, ich habe eine Diagonalmatrix herausbekommen.

Jetzt haben wir in unserem Skript Diagonalgestalt allerdings so definiert, dass die Diagonalelemente die Eigenwerte sein müssen.

Die habe ich jedoch nicht raus und nur durch probieren bin ich darauf gekommen, dass ich die EIgenvektoren zuerst normieren muss, um die gewünschte Diagonalgestalt mit den Eigenwerten als Diagonalelemente zu erhalten.

Allerdings ist mir nicht so ganz klar, wieso dass so ist.

Wisst ihr warum?
MfG

Pizzaboss

Answer 1

Aloha :)

Zum Diagonalisieren einer Matrix \(A\) berechnest du die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren. Die Eigentvektoren trägst du als Spalten in eine Transformationsmatrix \(T\) ein. Die Diagonalmatrix ist dann:$$D=T^{-1}AT$$und enthält lauter Nullen, bis auf die Hauptdiagonale, die mit den Eigenwerten gefüllt ist.

Zum Verständnis deines Problems, musst du die geometrische Bedeutung der Determinante kennen. Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix ist gleich dem \(n\)-dimensionalen Volumen, das durch die Spalen- bzw. Zeilenvektoren aufgespannt wird. Wegen der Beziehung$$\text{det}(T^{-1})\cdot\text{det}(T)=\text{det}(T^{-1}T)=\text{det}(E)=1$$ rechnet sich eine eventuelle Verzerrung des Volumens durch nicht normierte Eigenvektoren wieder heraus. Das heißt, die Eigenvektoren brauchen nicht normiert zu werden.

In deinem Fall wird die Transformation aber wie folgt durchgeführt:$$D=X^TAX$$Wegen$$\text{det}(X)=\text{det}(X^T)$$wird hierbei eine Verzerrung durch nicht-normierte Eigenvektoren sogar quadriert. Daher musst du in diesem Sonderfall die Eigenvektoren normieren, damit das durch sie aufgespannte Volumen \(=1\) ist und damit auch \(\text{det}(X)=\text{det}(X^T)=1\) ist.

Comments

Vielen Dank:) Ich glaube, ich habe es verstanden. Aber das funktioniert in meinen fallnur so, weil die Matrix symmetrisch ist, oder? Oder tut die Symmetrie hier nichts zur sache?

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In deinem Fall werden die Verzerrungen (Streckungen / Kürzungen), die die Matrix \(T\) verursacht, nicht durch Multiplikation mit der inversen Matrix \(T^{-1}\) kompensiert. Das heißt, immer wenn du die Diagonaltransformation nicht mittels \(D=T^{-1}AT\), sondern irgendwie mit \(D=XAY\) durchführst, musst du darauf achten, dass sich die Determinanten von \(X\) und \(Y\) zu \(1\) multiplizieren. Das erreichst du am einfachsten, indem du alle Spalten in \(Y\) und alle Spalten in \(X\) normierst.

In deinem Fall ist nicht die Symmetrie von \(X\) entscheidend, sondern dass \(X^T\) anstelle von \(X^{-1}\) eingesetzt wurde. Das heißt:$$E=X\cdot X^{-1}=X\cdot X^T$$Du musst also sicher stellen, dass \(X\cdot X^T\) die Einheitsmatrix ist. Dazu musst du, wie oben geschrieben, die Eigenvektoren in \(X\) normieren. Die Matrix \(X\) muss also nicht nur orthogonal sein, sie muss orthonormal sein.

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Vielen Dank nochmal, dass hat mir wieder sehr beim Verstehen geholfen:)

Answer 2

Hm,

das ist auch nicht so - im allgemeinen, wo es

D = X^-1 A X

heißt. Wenn Du das mit der Transponierten machen willst, dann muss X^T=X^-1 sein also X eine Orthogonalmatrix sein und dann das ja... EV orthogonal machen!

Comments

Danke dass du, trotz der späten Uhrzeit noch geantwortet hast. Klappt das vielleicht nur in diesem Beispiel, weil die Matrix symmetrisch ist?

Und kannst du mir vielleicht sagen, wie ich "richtig" vorgehen müsste? Das ist doch eigentlich eine Hauptachsentransformation die ich durchführe, oder?

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Wenn Du eine HAT als Aufgabenstellung hast, dann ist die zugrundeliegende Geometrie eine Drehung und Du musst die Eigenvektoren so zurechtschnitzen, dass auch eine Drehmatrix zustande kommt - insbesondere Det(X)=+1 und als Drehmatrix ist X dann auch eine symmetrische Matrix.

Wenn ich mit meiner App rechne ist

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

\(\small X \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}-\sqrt{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\1&1\\\end{array}\right)\)

und damit orthogonal aber nicht orthonormal - also noch keine Drehung

=> normieren und det(X)=+1 ===> \(\small X \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \; \sqrt{3}\\-\frac{1}{2} \; \sqrt{3}&-\frac{1}{2}\\\end{array}\right)\)

Eine HAT zum rumspielen wäre unter

https://www.geogebra.org/m/jybmgrce

zu finden.

Ich weiß jetzt nicht genau wie Deine Probleme aussehen, musst genauer ausführen...

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Ist nicht mehr nötig, hast mir schon sehr geholfen:) Danke

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Baer was meinst du hier bei "normieren und det(X)=+1" mit "det(X)=+1"?

Answer 3

Hallo,

die Eigenvektoren müssen für diese Rechnung nicht normiert werden.

Du kannst das Ergebnis hier abgleichen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%287%2C3*sqrt%283%29%29%2C%283*sqrt%283%29%2C13%29%29

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Danke, die Seite werde ich mir merken:)