Aloha :)
In einem rechtwinkligen Dreieck hast du einen \(90^o\)-Winkel sowie zwei Winkel \(\alpha\) und \(\beta\), die sich zu \(90^o\) addieren. Diese beiden Winkel nennt man complementär zueinander, was leider oft auch komplementär geschrieben wird.
Der Cosinus hat seinen Namen nun daher, dass er der Sinus des complemänteren Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist. Dasselbe gilt für alle anderen Co-Winkelfunktionen. Das heißt:$$\sin(\alpha)=\cos(90^o-\alpha)$$$$\cos(\alpha)=\sin(90^o-\alpha)$$$$\tan(\alpha)=\cot(90^o-\alpha)$$$$\cot(\alpha)=\tan(90^o-\alpha)$$
Mit diesem Wissen ist deine Aufgabe leicht zu beantworten:$$\sin(\alpha)=\cos(\alpha)$$$$\sin(\alpha)=\sin(90^o-\alpha)$$$$\alpha=90^o-\alpha$$$$2\alpha=90^o$$$$\alpha=45^o$$
Streng genommen musst du auch noch berücksichtigen, dass Sinus und Cosinus die Periode \(360^o\) haben. Das heißt, zu dem Winkel \(\alpha\) kannst du beliebig oft \(360^o\) addieren oder subtrahieren und kriegst immer denselben Wert für Sinus bzw. Cosiuns heraus. Die Rechnung sieht dann so aus:$$\sin(\alpha+n\cdot360^o)=\cos(\alpha+m\cdot360^0)\quad;\quad n,m\in\mathbb{Z}$$$$\sin(\alpha+n\cdot360^o)=\sin(90^o-\alpha-m\cdot360^o)$$$$\alpha+n\cdot360^0=90^o-\alpha-m\cdot360^o$$$$2\alpha=90^o-n\cdot360^o-m\cdot360^o=90^o-(m+n)\cdot360^o$$$$\alpha=45^o-(m+n)\cdot180^o$$Weil \(n\) und \(m\) ganze Zahlen sind, ist auch ihre Summe eine ganze Zahl. Im Ergebnis erhalten wir also:$$\alpha=45^o+\mathbb{Z}\cdot180^o$$