Sinus und Cosinus im Einheutskreis

Question

Bei welchen Winkeln hat der Sinus den gleichen Wert wie der Cosinus?

Answer 1

y=f(x)=sin(x)  und y=f(x)=cos(x)

Beide Funktionen sind harmonischen Schwingungen und haben den selben Kurvenverlauf.

Sind aber auf der x-Achse gegeneinander um pi/2=90° verschoben.

Es gilt: y=f(x)=cos(x)=sin(x+pi/2)   Rechner auf rad (Radiant) einstellen.

Hier Infos per Bild,was du vergrößern kannst und /oder herunterladen.

Text erkannt:

\begin{tabular}{r}
\\
\\
\( = \) \\
\hline
\end{tabular}
"I
In "
1)

Answer 2

Bei \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \) mit \( k \in \mathbb{Z} \)

Answer 3

Wenn Ankathete und Gegenkathete gleichlang sind. Dann ist das Dreieck gleichschenklig, die Basiswinkel gleichgroß, also 45°.

Wenn man im Einheitskreis die I. Winkelhalbierende zeichnet, sieht man, dass im I. und III. Quadranten Schnittpunkte mit dem Einheitskreis auftreten, nämlich für  \(\alpha=45^\circ \rightarrow (\frac{\sqrt 2}{2}|\frac{\sqrt 2}{2})\) und für  \(\alpha=225^\circ \rightarrow (-\frac{\sqrt 2}{2}|-\frac{\sqrt 2}{2})\).

Entsprechendes gilt natürlich auch für die Winkel die durch Addition von 360° entstehen.

Comments

Aber auch bei um ganzzahlige vielfache von \( \pi \) verschoben.

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@ullim

Danke für den Hinweis. Ich habe meine Antwort ergänzt, allerdings im Gradmaß.

Answer 4

Für α=45° ist sin(α)=cos(α). Und dann alle 180° wieder.

Comments

Auch um 180° verschoben.

Answer 5

Aloha :)

In einem rechtwinkligen Dreieck hast du einen \(90^o\)-Winkel sowie zwei Winkel \(\alpha\) und \(\beta\), die sich zu \(90^o\) addieren. Diese beiden Winkel nennt man complementär zueinander, was leider oft auch komplementär geschrieben wird.

Der Cosinus hat seinen Namen nun daher, dass er der Sinus des complemänteren Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist. Dasselbe gilt für alle anderen Co-Winkelfunktionen. Das heißt:$$\sin(\alpha)=\cos(90^o-\alpha)$$$$\cos(\alpha)=\sin(90^o-\alpha)$$$$\tan(\alpha)=\cot(90^o-\alpha)$$$$\cot(\alpha)=\tan(90^o-\alpha)$$

Mit diesem Wissen ist deine Aufgabe leicht zu beantworten:$$\sin(\alpha)=\cos(\alpha)$$$$\sin(\alpha)=\sin(90^o-\alpha)$$$$\alpha=90^o-\alpha$$$$2\alpha=90^o$$$$\alpha=45^o$$

Streng genommen musst du auch noch berücksichtigen, dass Sinus und Cosinus die Periode \(360^o\) haben. Das heißt, zu dem Winkel \(\alpha\) kannst du beliebig oft \(360^o\) addieren oder subtrahieren und kriegst immer denselben Wert für Sinus bzw. Cosiuns heraus. Die Rechnung sieht dann so aus:$$\sin(\alpha+n\cdot360^o)=\cos(\alpha+m\cdot360^0)\quad;\quad n,m\in\mathbb{Z}$$$$\sin(\alpha+n\cdot360^o)=\sin(90^o-\alpha-m\cdot360^o)$$$$\alpha+n\cdot360^0=90^o-\alpha-m\cdot360^o$$$$2\alpha=90^o-n\cdot360^o-m\cdot360^o=90^o-(m+n)\cdot360^o$$$$\alpha=45^o-(m+n)\cdot180^o$$Weil \(n\) und \(m\) ganze Zahlen sind, ist auch ihre Summe eine ganze Zahl. Im Ergebnis erhalten wir also:$$\alpha=45^o+\mathbb{Z}\cdot180^o$$