Von einem Rechteck ist der Umfang und der Flächeninhalt gegeben. Bestimme die Seitenlängen.

Question

Aufgabe:

u= 16cm; A= 15cm²

Problem/Ansatz:

Wie soll ich die Seitenlänge bestimmen?

(●'◡'●)

Answer 1

Löse das Gleichungssystem

(1) 2(a+b)=16

(2) a*b=15

Auch wenn das jetzt ganz grausam klingt: Du wirst dabei eine quadratische Gleichung lösen müssen.

Comments

Gibt es dafür keine andere Methode oder ist deine vorgeschlagene Methode die einfachste? :)

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Gibt es dafür keine andere Methode

Benutze den Vieta'schen Wurzelsatz

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Das Gleichungssystem beschreibt die Aufgabenstellung.  Nur über die Lösung dieses Systems kommst du zur Lösung.

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Benutze den Vieta'schen Wurzelsatz

Das ist nicht wirklich ein Lösungsansatz.  Da  hättest du auch gleich schreiben können:

Schau mal, ob du die Lösung "siehst"

Wenn man den Satz von Vieta buchstabengetreu verfolgt, stellt man ein Gleichungssystem der Form

"Summe der Lösungen = ..."

"Produkt der Lösungen =..." auf.

Das gibt rechnerisch ÜBERHAUPT KEINE Erleichterung im Vergleich zu

(1) 2(a+b)=16

(2) a*b=15

denn auch da hat man eine Summe und ein Produkt.

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auch da hat man eine Summe und ein Produkt

Selbstverständlich hat man das - zum Glück, denn sonst könnte man den Satz gar nicht anwenden.
Er besagt nämlich, dass die Seitenlängen Lösungen der Gleichung  x^2 - 8x + 15  sind, und die angeblich nicht vorhandene Erleichterung besteht darin, dass das Auflösen, Einsetzen, Umstellen deiner beiden Gleichungen bis zum Erhalt der quadratischen Gkeichung entfällt.

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Er besagt nämlich, dass die Seitenlängen Lösungen der Gleichung  x²  - 8x + 15  sind,

Da bist du ein wenig zu optimistisch. Wofür steht dein x? Für a oder für b?

Ich nehme mal an, für eines von beiden (o.B.d.A. für a).

Dann besagt Vieta erst mal nur, dass x²  - 8x + 15 =0 (die 0 hast du vergessen) von den beiden möglichem Lösungen von a (nicht vordergründig von a UND b) erfüllt wird.

Dass für eine der beiden Lösungen von a die zweite Lösung von a gerade der Länge b entspricht, ist nun mal (zwar leicht herleitbar, aber) nicht so ganz ohne weitere Argumente begründbar.

Spätestens jetzt ist (für Schüler) der vermeintliche Vorsprung des Vieta-Ansatzes dahin.

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die 0 hast du vergessen  ist das Einzige, was an deinem Beitrag stimmt.

Schönen Dank für den Hinweis auf einen witeren Vorteil meines Lösungsansatzes, den ich ganz übersehen hatte.

Du löst eine der Gleichungen nach a auf, setzt in die andere ein, formst um und kommst letztlich auf die Gleichung  b^2 - 8b + 15  =  0  . Du erhältst die beiden Lösungen  b_1 = 3  und  b_2 = 5  und musst jetzt zusätzlich noch zu jedem dieser beiden bs das zugehörige a ermitteln. Dieser letzte Schritt entfällt bei mir völlig, denn die beiden Lösungen der Gleichung  x^2 - 8x + 15  =  0  sind automatisch die beiden Seitenlängen des Rechtecks.

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Du liest auch nur das, was du lesen willst.

Das offenbart sich in

sind automatisch die beiden Seitenlängen

Das ist mir klar, und das ist dir klar.

Wenn du das aber Schülern als Königsweg verkaufen willst, musst du hier eine argumentative Lücke schließen.

Da du das aber vorhin schon ignoriert hast, müssen wir das nicht weiter diskutieren.

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Das, was du als Lücke ansiehst, ist tatsächlich Teil des Vietaschen Wurzelsatzes.

Answer 2

a+b=8 (Halber Umfang)

a*b=15

Mal gucken, ob es eine ganzzahlige Lösung gibt.

15=1*15=3*5

8=1+7=2+6=3+5=4+4

:-)