Basisfunktionen (homogene lineare Differentialgleichung)

Question

Für die Funktion \( y: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) wird die homogene lineare Differentialgleichung

$$ y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-8 y=0 $$
betrachtet. Weisen Sie nach, dass die auf R definierten Funktionen \( y_{1} \) und \( y_{2} \) mit \( y_{1}(x)=e^{2 x} \) und \( y_{2}(x)=\mathrm{e}^{-4 x} \) Lösungen der DGL sind. Zeigen Sie weiter, dass \( y_{1} \) und \( y_{2} \) sogar Basisfunktionen der DGL sind (sie bilden ein Fundamentalsystem) und geben Sie die allgemeine Lösung der homogenen DGL an.

Dafür habe ich die Wronski-Determinante benutzt:

\( W\left(y_{1}, y_{2}\right)(x)=\left|\begin{array}{ll}y_{1} & y_{2} \\ y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{2 x} & \mathrm{e}^{-4 x} \\ 2 \mathrm{e}^{2 x} & -4 \mathrm{e}^{-4 x}\end{array}\right| \)

\(=e^{2x}\cdot (-4e^{-4x})-2e^{2x}\cdot e^{-4x} \neq 0\) erhalten.

Die Antwort soll \(=-6e^{2x}\cdot e^{-4x} \neq 0\) lauten.

Ich komme gerade nicht darauf, wie ich auf das Ergebnis kommen soll...

Answer 1

Aloha :)

Du kannst aus einer Reihe (=Zeile oder Spalte) einer Determinante einen Faktor vor die Determinante ziehen:$$\left|\begin{array}{c}e^{2x} & e^{-4x}\\2e^{2x} & -4e^{-4x}\end{array}\right|=e^{2x}\left|\begin{array}{c}1 & e^{-4x}\\2 & -4e^{-4x}\end{array}\right|=\underbrace{e^{2x}e^{-4x}}_{=e^{-2x}}\underbrace{\left|\begin{array}{c}1 & 1\\2 & -4\end{array}\right|}_{=-4-2=-6}=-6e^{-2x}$$Du hast übrigens dasselbe raus wie in der Musterlösung. Du kannst deinen Ausdruck noch weiter zusammenfassen.

Comments

Danke für die Antwort! :-)

Ich frage mich bloß wo das zusätzliche e^-4x in der Lösung herkommt.

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Achte auf die Vorzeichen:$$-6e^{2x}\cdot e^{-4x}=-6e^{2x-4x}=-6e^{-2x}$$

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Ahhh! Na klar. Denkfehler.

:)