Differenzfunktion bilden

Question

Aufgabe:

f(x)=1/2•x^2

g(x)=1/2•(x^3+x^2-4x)

   Sehr geehrte Community,

Ich bekam die Aufgabe, die Fläche zweier Funktionen zu berechnen (s. f(x) und g(x)) das Problem ist nur, dass ich nicht weiter komme beim Rechnen der Differenz zwischen den Funktionen. Es lautet h(x)=f(x)-g(x) und bei g(x) steht VOR der Klammer 1/2 sprich, alles in der Klammer wird •1/2 genommen so in etwa [1/2x^2-1/2x^3+x^2-2x] und ich kann die Flächenberechnung nur fortsetzen, wenn die Differenzfunktion vorhanden ist..kann jemand ausführlich helfen..

Answer 1

Aloha :)

$$d(x)=g(x)-f(x)=\frac{1}{2}(x^3+x^2-4x)-\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x-\frac{1}{2}x^2$$$$\phantom{d(x)}=\frac{1}{2}x^3-2x=\frac{1}{2}x\left(x^2-4\right)=\frac{1}{2}x(x+2)(x-2)$$Wie du an der Faktorisierung erkennst, hat die Differenzfunktion \(d(x)\) drei Nullstellen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Da die Fläche zwischen den beiden Kurven bestimmt werden soll, musst du vom einem Kreuzungspunkt der Funktionen (=Nullstellen) zum nächsten integrieren:$$F=\left|\,\int\limits_{-2}^0\left(\frac{1}{2}x^3-2x\right)\right|+\left|\,\int\limits_0^2\left(\frac{1}{2}x^3-2x\right)\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{x^4}{8}-x^2\right]_{-2}^0\right|+\left|\left[\frac{x^4}{8}-x^2\right]_0^2\right|=|2|+|-2|=4$$Die Differenzfunktion sieht so aus:

~plot~ x^3/2-2x ; [[-3|3|-3|3]] ~plot~

Comments

Sehr geehrter Helfer,

ist es es möglich, dass das Endergebnis 12 FE ist? Ich berechnete es so:

Integral -2 und 0: \( \frac{1}{8} \)•(-2)4+(-2)2=6

Integral 0 und 2: \( \frac{1}{8} \)•24+22=6

A=A1+A2=6+6=12FE

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Du hast übersehen, dass du die Differenz nehmen musst. Das Integral ist:$$\frac{x^4}{8}\stackrel{!!!}{-}x^2$$Daher ist das Ergebnis tatsächlich \(=4\).

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Erstmal sorry, da ich nicht 24+22 meine sonder 2^4 und 2^4 dennoch kann ich das Ergebnis nicht nachvollziehen

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Was genau verstehst du denn nicht? Ist es die Berechnung des Integrals oder hast du beim Einsetzen der Werte Schwierigkeiten?

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Ich verstehe eher den Rechenweg nicht. Ich erstelle einen neuen Beitrag und fotografiere meine Rechenwege

Answer 2

f(x)-g(x)= 1/2•x^2  - 1/2•(x^3+x^2-4x)

Klammer auflösen gibt ( Beachte "minus" vor dem 1/2 )

            = 1/2•x^2  - 1/2•x^3- 1/2•x^2+ 1/2•4x

= 1/2•x^2  - 1/2•x^3- 1/2•x^2+ 2x

=  - 1/2•x^3 + 2x

Bedenke, dass du in 2 Schritten integrieren musst,

von -2 bis 0 und von 0 bis 2 und jeweils den Betrag des

Integrals nehmen und diese addieren. Denn es sieht so aus

~plot~ x^2/2;1/2*(x^3+x^2-4x)  ~plot~

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Sehr geehrter Helfer,

ist es es möglich, dass das Endergebnis 12 FE ist? Ich berechnete es so:

Integral -2 und 0: \( \frac{1}{8} \)•(-2)4+(-2)2=6

Integral 0 und 2: \( \frac{1}{8} \)•24+22=6

A=A1+A2=6+6=12FE

---

Sehr geehrter Helfer,

ist es es möglich, dass das Endergebnis 12 FE ist? Ich berechnete es so:

Integral -2 und 0:
\( \frac{1}{8} \)•(-2)⁴+(-2)²=6

Integral 0 und 2:

\( \frac{1}{8} \)•2⁴+2²=6
A=A1+A2=6+6=12FE

So meinte ich das. Hier möchte ich nur wissen, ob dies den Flächen entspricht, die sich aus h(x)

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Eine Stammfunktion ist aber doch

- 1/8 x^4 + x^2 .

Also gibt das

 0  -  (- 1/8•(-2)^4+(-2)^2 )  =0 - (-2 + 4)  = - 2

und

-1/8•2^4+2^2   - 0  = -2 + 4 - 0  = 2

So sieht es auch eher am Graphen aus:

Beide Stücke haben die Größe 2 FE und

insgesamt ist es also 4.

Answer 3

f(x) - g(x) =

1/2•x^{2} - 1/2•(x^{3} + x^{2}-4x =

1/2•x^{2} - 1/2•x^{3} - 1/2•x^{2} + 2x =

...

(Man kann die Differenz auch nach der Flächenberechnung ausrechnen. Hier ist es vorher aber einfacher.)

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Sehr geehrter Helfer,

ist es es möglich, dass das Endergebnis 12 FE ist? Ich berechnete es so:

Integral -2 und 0: \( \frac{1}{8} \)•(-2)⁴+(-2)²=6

Integral 0 und 2: \( \frac{1}{8} \)•2⁴+2²=6

A=A₁+A₂=6+6=12FE

Answer 4

Fläche zwischen 2 Kurven A=Integral(f(x)-g(x)

f(x)=obere Begrenzung

g(x)=untere Begrenzung

zuerst eine Zeichnung machen,dann sieht du,dass sich die obere Begrenzung und die untere Begrenzung sich abwechseln.Ds führt bei der Integration zu einen falschen Ergebnis.

1) Schnittstellen von f(x) und g(x)  f(x)=g(x) mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)

x1=-2 und x2=0 und x3=2

2) Im Intervall x2,x3 ist f(x)=1/2*x² die obere Begrenzung

Im Intervall x1,x2 ist g(x)=1/2*(x³+x²-4*x) die obere Begrenzung

Gesamtfläche Ages=A1+A2

A1=Integral((f(x)-g(x))  Intervall xo=2 und xu=0

A2=Integral(g(x)-(f(x)  Interavll xo=0 und xu=-1

Fläche A=obere Grenze minus untere Grenze   xo=... und xu=...

Den Rest schaffst du selber.