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Hallo,

wir sollen alle ersten partiellen Ableitungen und die totale Ableitung df/dx der skalaren Funktion: f(\( \vec{r} \)) = |\( \vec{r} \)| berechen. Ich weiß generell wie man partiell ableitet und auch wie man die Wurzelfunktion vom Betrag ableitet. Mein Problem ist nun das es keine weiteren Angaben zum Vektor \( \vec{r} \) gibt (Dimension/Komponenten des Vektors/Abhängigkeiten der Komponenten). Ist mit \( \vec{r} \) einfach der allgemeine Ortsvektor \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) gemeint, oder ist die Aufgabe so wie Sie gestellt ist eventuell einfach unvollständig? Danke Schonmal im Voraus!

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Hallo

 es ist fast sicher der Vektor r im R^3 gemeint,  Komponenten sind immer (x,y,z) oder (x1,x2,x3)

Gruß lul

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Aloha :)

$$f(\vec r)=|\vec r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$Die partiellen Ableitungen sind wegen der Symmetrie alle gleich, daher führe ich nur die partielle Ableitung nach \(x\) vor. Die anderen beiden funktionieren völlig analog:$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{x}{r}$$Die totale Ableitung von \(f\) nach \(x\) gibt es nicht. Du kannst nur nach einer Variablen total ableiten, von der alle anderen Variablen abhängen. In der Regel ist das die Zeit \(t\). Nehmen wir also an, es sei$$x=x(t)\;;\;y=y(t)\;;\;z=z(t)$$Dann hängt die Funktion \(f=f(t)=f(x(t),y(t),z(t))\) total von der Variablen \(t\) ab und wir können mittels Kettenregel die totale Ableitung bestimmen:$$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot\frac{dz}{dt}$$Aus dem ersten Aufgabenteil kennen wir die partiellen Ableitungen:$$\frac{df}{dt}=\frac{x}{r}\dot x+\frac{y}{r}\dot y+\frac{z}{r}\dot z=\frac{1}{r}\,\vec r\cdot\vec v\quad;\quad \vec v:=(\dot x|\dot y|\dot z)$$

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