Aloha :)
$$f(\vec r)=|\vec r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$Die partiellen Ableitungen sind wegen der Symmetrie alle gleich, daher führe ich nur die partielle Ableitung nach \(x\) vor. Die anderen beiden funktionieren völlig analog:$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{x}{r}$$Die totale Ableitung von \(f\) nach \(x\) gibt es nicht. Du kannst nur nach einer Variablen total ableiten, von der alle anderen Variablen abhängen. In der Regel ist das die Zeit \(t\). Nehmen wir also an, es sei$$x=x(t)\;;\;y=y(t)\;;\;z=z(t)$$Dann hängt die Funktion \(f=f(t)=f(x(t),y(t),z(t))\) total von der Variablen \(t\) ab und wir können mittels Kettenregel die totale Ableitung bestimmen:$$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot\frac{dz}{dt}$$Aus dem ersten Aufgabenteil kennen wir die partiellen Ableitungen:$$\frac{df}{dt}=\frac{x}{r}\dot x+\frac{y}{r}\dot y+\frac{z}{r}\dot z=\frac{1}{r}\,\vec r\cdot\vec v\quad;\quad \vec v:=(\dot x|\dot y|\dot z)$$
