Geebener Vektor x mit einem anderen Vektor y einen 45° Winkel umschließen

Question

ich stehe vor folgender Aufgabe:

Gegeben sei der Vektor →x = (1/0/1) .

Geben Sie (jeweils mit Rechnung bzw. Begründung), einen Vektor y mit |→y| = 1 an, der mit dem Vektor x einen Winkel von 45° umschließt.

Ich weiß, dass der arccos ^-1 (√1/2) = 45° ergibt.

Mein Problem besteht darin, dass ich die passenden Koordinaten nicht finde. Ich habe folgende Koordinaten für den Vektor y ausprobiert: →y= (√1/2 / √1/2 /0). Der Betrag ergibt zwar für |→y|=1, allerdings erreiche ich nicht den Winkel 45°, wenn ich das mit der Formel zur Berechnung des Winkels, einsetze: cos φ= x∘y / |→x|⋅|→y|.

Liebe Grüße

Answer 1

Aloha :)

Der gesuchte Vektor \((x|y|z)\) soll mit dem Vektor \((1|0|1)\) einen \(45^o\) Winkel einschließen. Das kannst du über das Skalarprodut sicherstellen:$$\frac{1}{\sqrt2}=\cos(45^o)=\frac{\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{x+z}{\sqrt2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$Wir haben also die beiden Forderungen:$$x+z=1\quad;\quad\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$$Diese wird z.B. erfüllt durch den Vektor \((1|0|0)\) oder durch \((0|0|1)\) oder, um mal etwas komplizierter zu werden, durch \((\frac{1}{2}|\frac{1}{\sqrt2}|\frac{1}{2})\)...

Comments

Vielen Dank :-)

Anders gesagt müssen wir mithilfe des Skalaprodukts ein Vektor so bestimmen, dass wir 1/√2=cos(45°) erhalten ?

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Die Frage hat sich erübrigt, bin dahinter gekommen :)

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Ja genau richtig. Das Skalarprodukt von zwei Vektoren liefert dir ja immer den Cosinus des Winkels zwischen diesen beiden Vektoren. Das habe ich bei der Lösung ausgenutzt. Aber sehr schön, dass du selbst dahinter gekommen bist. Das ist immer am besten, weil man es dann auch wirklich verstanden hat!

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So ist es ! :-)