Vektor - Bestimme z so, dass Vektore a mit b einen Winkel von 60° einschliesst

Question

Aufgabe:

Ich soll z so bestimmen, dass die Vektoren a und b einen Winkel von 60° einschliessen, das problem ist, dass ich es jetzt mit dem z nicht zeichnen kann. 

\( \vec{a}\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {z}\end{array}\right) \) und \( \vec{b}\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {z}\end{array}\right) \) 

Lösung: +/-1

übrigens, hat es Neuerungen gegeben oder wieso kann ich nicht mehr das, was ich mit dem Formeleditor vorbereitet habe einfügen?
$$code$$ wäre doch eigentlich 

meine Idee, aber ich komme nicht auf die Lösungen.

\( \vec{a}\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {z}\end{array}\right) \) und \( \vec{b}\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {z}\end{array}\right) \)
\( \cos \varphi=\frac{\vec{a} * \vec{b}}{a * b} \)
\( \vec{a} * \vec{b}=0+0+z^{2}=z^{2} \)
\( a=|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+z^{2}}=1+z \)
\( b=|\vec{b}|=\sqrt{0^{2}+1^{2}+z^{2}}=1+z \)
\( \cos \left(60^{\circ}\right)=0.5 \)
\( 0.5=\frac{z^{2}}{(1+z)^{2}} \)

\( =(1+z)(1+z) 0.5=z^{2} \)
\( =\left(1+2 z+z^{2}\right) 0.5=z^{2} \)
\( =\frac{1}{2}+z+\frac{1}{2} z^{2}=z^{2} \quad | \cdot 2 \)
\( =1+2 z+z^{2}=2 z^{2} \quad |-z^{2} \)
\( =1+2 z=z^{2}\qquad \quad |- 2z \)
\( =1=z^{2}-2 z \)
\( =1=z(z-2) \)
\( z_{l}=1 \)
\( z_{2}=3 \)

Mitternachtsformel
$$ 0=z^{2}-2 z-1 $$
\( z_{1}=2,414 \)
\( z_{2}=-0.414 \) 

Answer 1

Die Gleichung √(1² + 0² + z²) = 1 + z stimmt nicht.

Stattdessen:

    |a| = √(1² + 0² + z²) =  √(1 + z²)

    |b| = √(0² + 1² + z²) =  √(1 + z²)

    |a|·|b| = √(1 + z²) · √(1 + z²) = 1 + z²

Comments

IaI = √1^{2} + 0^{2} + z^{"} = √1 + 0 + z^{2} = √ 1 + z^{2}
IbI = √0^{2} + 1^{2} + z^{2} = √0 + 1 + z^{2} = √1 + z^{2}

Von hier aus vereinfachst du weiter nicht, sondern rechnest IaI*IbI wobei die Wurzel verschwindet. 

0.5 = z^{2} / 1 + z^{2} I *HN
(1+z(2))*0.5 = z^{2}
0.5 + 0.5z(2) = z^{2} 
0.5 = 0.5z^{2} 
1 = z^{2} I +/-√
z = +/-1

Ich habe den Wurzelgesetz-Fehler gemacht dass ich bei IaI gesagt habe 

√ 1 + z^{2} = √1 + √z^{2} = 1 + z
das selbe bei IbI

(1+z)*(1+z) = (1+z)^{2}

Voila! Das war mein Fehler.

Answer 2

BEACHTE: √(a^2 + b^2) ≠ a + b

COS(60°) = [1, 0, z]·[0, 1, z]/(√(1^2 + 0^2 + z^2)·√(0^2 + 1^2 + z^2))

1/2 = z^2 / (1 + z^2)

1 + z^2 = 2 * z^2

1 = z^2

z = ±1

Answer 3

Hallo Limonade,

Du hast Dich beim Wurzelziehen vertan:

$$\sqrt{1^2+z^2} \ne1+z$$

aber \(|a|\cdot|b|=\sqrt{1^2+z^2}\cdot\sqrt{1^2+z^2}=1+z^2\)

damit wird dann \(0,5=\frac{z^2}{1+z^2}\) und \(z=\pm 1\).

Answer 4

Du hast übrigens noch einen weiteren Fehler in deiner Rechnung.

"  1 = z(z-2)    => z1 = 1 und z2 = 3  "  ist ein Trugschluss.

Probe: 1(1-2) = -1

und 3(3-2) = 3

Beides gibt nicht 1.