Bestimmung eines Vektors der Länge √18, der mit (4|1|1) den Winkel 60° einschliesst.

Question

Hallo ich bräuchte eure Hilfe

Zum Vektor a =(4/1/1) soll ein Vektor p=(x/y/z) bestimmt werden, so dass Betrag von p gleich Betrag von a ist und der Winkel a,p gleich 60° ist. 
a.) Zeige, dass dann 4x+y+z=9 gelten muss. Wie ist diese Beziehung im Zusammenhang mit der Aufgabenstellung geometrisch zu deuten?
b.) Berechne Vektor p=(x/y/z) für den Fall, dass die erste Komponente x=3 ist.

Answer 1

Winkel zwischen Vektoren kannst du mit dem Skalarpodukt ausrechnen.

Es gilt a * b = |a| * |b| * cos(Zwischenwinkel)

Hier (4|1|1) * (x|y|z) = √(16 + 1+1) *√(18) * cos(60°).

Das gibt dann 4x + y + z= 18 * 1/2 

4x+y+z=9 beschreibt eine Ebene senkrecht zum gegebenen Vektor.

Die Spitzen der gesuchten Vektoren (als Ortsvektoren verstanden) bilden darauf einen Kreis. 

b) Berechne Vektor p=(x/y/z) für den Fall, dass die erste Komponente x=3 ist. 

12 + y + z = 9

y  = -3 -z

und 9 + y^2 + z^2 = 18 

y^2 + z^2 = 9

(3+z)^2 + z^2 = 9

9 + 6z + z^2 + z^2 = 9

6z + 2z^2 = 0

2z(3z+1) = 0

z= 0 oder z = -1/3

Daher u(3| 0| -3) und v(3|-8/3 | - 1/3) 

Bitte nachrechnen. Zumindest bei v stimmt etwas nicht. Das sollte v(3| -3| 0 ) sein.