Vektor, welcher zu gegebenen Vektor im 45° Winkel steht, berechnen

Question

Komme bei einer Aufgabe derzeit nicht weiter:

Gegeben sei der Vektor a = (-2,0,4). Geben Sie einen Vektor an, der im 45° Winkel zu Vektor a steht.

Habe mich mal am Formeleditor versucht zur Darstellung:

\( \left(\begin{array}{c}{-2} \\ {0} \\ {4}\end{array}\right), mir \) ist bekannt, dass: \( \cos (\vec{a} \cdot \vec{b})=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \) und dass der arccos \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) betragen muss.

Meine Idee war nun, en bisher bekannten Vektor einzusetzen und den gesuchten Vektor mit x,y,z als gesuchte Variablen anzugeben. Allerdings ist die Gleichung aufgrund der drei Unbekannten zu keinem variablenunabhängigen Ergebnis gekommen. Meine Idee ist nun, eine Kompoentne auf 0 zu setzen, bzsw. die erste, mir fehlt nur leider das Verstnändnis, wie in diesem Fall abgewägt wird und wieso.

Herzlichen Dank für eure Hilfe.

Answer 1

Es ist nicht immer sinnvoll allzu triviale Probleme mit einer Gleichung lösen zu wollen.

v = [-2, 0, 4]

Welchen Winkel hat der Vektor [4, 0, 2] ?

Welchen Winkel hat der Vektor [-2, 0, 4] + [4, 0, 2] = [2, 0, 6]

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Der Vektor [4, 0, 2] ist orthogonal zum Vektor [-2, 0, 4], da das Skalarprodukt 0 ergibt.

Der Vektor [2, 0, 6] steht im 45 ° Winkel zum ersten Vektor, genau das was ich suchte, nur frage ich mich, wie sich das anhand der Vektoraddition ergibt.

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Zeichne dir mal zwei orthogonale Vektoren gleicher Länge auf und addiere die Vektoren. Dann erhältst du die Diagonale eines Quadrates welches von den Vektoren aufgespannt wird.

Und jetzt nenne mir mind. noch einen weiteren Vektor, der im Winkel von 45 Grad zu dem Gegebenen Vektor steht. 

Möglichst natürlich ohne die Vielfachen meines angegebenen Vektors zu benutzen.

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Nun ist es mir klar geworden.

Ich wäre nun auf [-2, 0, -6] gekommen, allerdings gibt es ja noch eine zweite Diagonale im aufgespannten Quadrat, aber die Vektoren welche in dem Fall projiziert werden sind ja ortsunabhängig und somit wären in dem Fall die involvierten Vektoren zur Berechnung der Diagonale die selben, wie in deiner angeführten Berechnung, oder liege ich da falsch?

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v = [-2, 0, 4]

Welchen Winkel hat denn der Vektor [0, 1, 0] bzw. [0, √20, 0].

Welchen Winkel hat dann der Vektor [-2, 0, 4] + [0, √20, 0] = [-2, √20, 4]

Welchen Winkel hat dann der Vektor [-2, 0, 4] + [0, -√20, 0] = [-2, -√20, 4]

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[0, 1, 0] und [0,√20, 0], [0, -√20, 0] sind linear abhängig und sind orthogonal zu v.

Die Vektoraddition liefert in beiden Fällen einen Winkel mit 45° zu v.

Ok, dh. bei 45° addiere ich den gegebenen Vektor mit einem hierzu orthogonalen Vektor und erhalte einen Vektor der den Winkel 45° zum gegebenen Vektor hat.

Wie würde ich systematisch vorgehen, wenn ich bspw einen Vektor, der im 60° Winkel stehen soll, bestimmen muss?

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Zeichne dir mal einen Würfel auf und überlege, wie du ein Dreieck in den Würfel zeichnen kannst, welches mind. einen 60°-Winkel besitzt.

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Hm, man könnte einen 90° Vektor durch den orthogonalen Vektor bilden, aber wie man einen 60° Winkel umsetzt durch die Vektoren ist mir nicht ganz klar.

Für mich ergeben sich innerhalb des Würfels nur 45° und 90° Winkel, zumindest, wenn das Dreieck als eine Seite eine der Diagonalen beeinhalten muss, wenn nicht könnte man den gegenüberliegenden als Anschlusspunkt für das Dreieck benutzen, allerdings nicht am Ende des Vektors sondern "innerhalb". 

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Du kannst in einen Würfel ein gleichseitiges Dreieck einzeichnen. Dieses hätte 3 Winkel von 60 Grad.

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Ok das ist mir nun klar, kannst du mir vielleicht erklären wie ich das Ganze mit der Formel zur Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren lösen kann.

Im Zweidimensionalen wäre mir das klar, da ich dort zwei Unbekannte hätte, aber was ist wenn es sich nicht um ein triviales Problem handelt und ich bspw. die Formel bei einem gesuchten Vektor(welcher im bestimmten Winkel zum gegebenen Vektor steht), bezogenen auf den ℝ^3, anwenden müsste.

Wie stelle ich in diesem Fall die Gleichung auf? Wenn ich für den zweiten Vektor von drei Unbekannten ausgehe, also x,y,z, dann ist diese Gleichung doch nicht lösbar? Muss ich dann eine oder zwei Komponenten vorab 0 setzen und nur eine Komponente berechnen, falls der Sachverhalt überhaupt möglich ist und wenn ja, wie komme ich darauf, welche Komponente 0 gesetzt werden muss.

Dieses Vorgehen ist mir irgendwie nicht ganz klar, da ich öfters Aufgaben wie diese lösen muss, bspw. bezogen auf 60,135,150°.

Danke für deine Hilfe

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Dir sollte klar sein, dass es unendlich viele Vektoren gibt die mit einem Gegebenen einen Winkel von 60 Grad einschließen.

Suchst du irgendeinen ist es dabei natürlich egal wie du x, y und z Koordinate wählst. Es langt für dich eine geeignete Lösung zu bekommen.

Nimm an du hast zwei Gleich lange Vektoren die im Winkel von 60 Grad zueinander stehen. Wie kannst du den einen Vektor jetzt Verändern sodass immer ein Winkel von 60 Grad bleibt. Wo liegen dann die Punkte aller Pfeilspitzen dieses Vektors?

Ich stelle mir das wie einen Kreis in einer Ebene vor. Wie bekommst du sehr leicht diese Ebene? Und wo ist der Mittelpunkt dieses Kreises?

Wenn du dir das erst überlegst ist es ein leichtes die Menge aller Punkte dieses Kreises in Parameterform zu modellieren.

Du brauchst also nicht irgendwelche Werte ausprobieren sondern du kannst alle diese Werte ganz exakt berechnen.

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Die Punkte der Pfeilspitze liegen alle auf dem Kreis innerhalb der Ebene.

Gut ich denke ich werde in den Anwendungsfällen auf die Kentnisse der Winkelwerte zurückgreifen und beispielsweise so konstruieren, dass sich bei 60° 1/2 als Wert der Division aus Skalarprodukt und Produkt der Beträge beider Vektoren ergibt.

Danke für deine Hilfe, mein Verständnis ist nun um einiges größer.