Vektorrechnung, Basiswechsel, Vektorengleichung,Winkel und Flächeninhalt.

Question

Hallo, könnte mir jemand die aufgeben d und e erklären? Ich verstehe nicht wirklich was ich machen muss.

Und vielleicht mal über a bis c drüber schauen ob da soweit alles fehlerfrei ist? Danke schon mal im Voraus!

Aufgaben.

1. Gegeben ist ein kartesisches Koordinatensystem \( \Sigma \) und die \( \mathrm{Punkte} \mathrm{A}(1|1| 3), \mathrm{B}(-1|-1| 3), \mathrm{C}(2|5| 2) \) und \( \mathrm{D}(0|0| 5) \). Die Punkte A bis D sind die Eckpunkte einer Dreieckspyramide.
(a) Berechnen Sie den Oberflächeninhalt der Dreieckspyramide.
(b) Berechnen Sie zwei Vektoren \( \vec{N}_{A B C} \) und \( \vec{N}_{A B D} \), die senkrecht auf den Flächen \( \mathrm{ABC} \) bzw. \( \mathrm{ABD} \) stehen.
(c) Berechnen Sie den Winkel, den \( \vec{N}_{A B C} \) und \( \vec{N}_{A B D} \) einschließen und den Winkel zwischen \( \vec{N}_{A B C} \) und \( \overrightarrow{A D} \).
(d) Die Vektoren \( \vec{A}, \vec{B} \) und \( \vec{C} \) bilden das Basissystem b. Geben Sie die Eckpunkte der Pyramide in diesem Basissystem an.
(e) Geben Sie die Gleichung der Geraden an, die senkrecht zur Seite ABC ist und durch den Punkt D geht.

Bisherige Lösungen:

Answer 1

Die Vektoren \( \vec{A}, \vec{B} \) und \( \vec{C} \) bilden das Basissystem b. Geben Sie die Eckpunkte der Pyramide in diesem Basissystem an.

Die beginnen alle am 0-Punkt.

Und wenn du die Eckpunkte "angeben" sollst, meint das sicher, dass du

eine Linearkombination dieser 3 bestimmen sollst, die am 0-Punkt

angetragen zu den Ecken führt, also z.B.

A =  \( 0 + 1 \cdot \vec{A} + 0 \cdot \vec{B} + 0 \cdot \vec{C} \) .

Man würde also sagen, A hat in diesem System die

Koordinaten (1 ; 0 ; 0 ) .

ähnlich für B und C und für D etwas aufwändiger: Da musst

du ja Zahlen xyz finden mit

D =  \( 0 + x \cdot \vec{A} + y \cdot \vec{B} + z \cdot \vec{C} \)

Das gibt ein Gleichungssystem, ich bekomme

x=5/6 und y=5/6 und z=0 also

D =  \( 0 + \frac{5}{6} \cdot \vec{A} + \frac{5}{6} \cdot \vec{B} + 0 \cdot \vec{C} \)