Wie löse ich die Funktion: sin(x) + cos(x) = 1,2?

Question

hi ! wie löst man die Funktion sin(x) + cos(x) = 1,2 ?

ich bitte um erklärung und nicht nur ums ergebnis !

vielen dank

Answer 1

Aloha :)

Eine sehr nützliche trigonometrische Beziehung ist:$$\frac{1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2x$$Damit kannst du wie folgt rechnen:

$$\left.\sin x+\cos x=1,2\quad\right|\;:\cos x$$$$\left.\tan x+1=\frac{1,2}{\cos x}\quad\right|\;(\cdots)^2$$$$\left.1+2\tan x+\tan^2x=\frac{1,44}{\cos^2 x}\quad\right|\;\text{Beziehung von oben nutzen}$$$$\left.1+2\tan x+\tan^2x=1,44(1+\tan^2x)\quad\right|\;\text{rechts ausrechnen}$$$$\left.1+2\tan x+\tan^2x=1,44+1,44\tan^2x\quad\right|\;\text{alles nach links}$$$$\left.-0,44\tan^2x+2\tan x-0,44=0\quad\right|\;:(-0,44)$$$$\left.\tan^2x-\frac{450}{99}\tan x+1=0\quad\right|\;\text{pq-Formel}$$$$\tan x=\frac{225}{99}\pm\sqrt{\left(\frac{225}{99}\right)^2-1}=\frac{225}{99}\pm\sqrt{\frac{40824}{99^2}}=\frac{225}{99}\pm\sqrt{\frac{504}{121}}$$$$\phantom{\tan x}=\frac{225}{99}\pm\frac{\sqrt{504}}{11}$$$$x_1=1,342997\quad;\quad x_2=0,227799$$Beachte, dass die Winkelfunktionen \(2\pi\)-periodisch sind. Du kannst also zu den beiden Lösungen noch beliebig oft \(2\pi\) addieren oder subtrahieren.

~plot~ sin(x)+cos(x) ; 1,2 ; [[-10|10|-2|2]] ; {0,227799|1,2} ; {1,342997|1,2} ~plot~

Comments

Beachte, dass die Winkelfunktionen 2π-periodisch sind.

Das ist zwar prinzipiell richtig, aber die Funktion f(x)=tan(x) ist sogar π-periodisch.

Dass die Lösungen der gegebenen Gleichung trotzdem nicht π-periodisch sind liegt daran, dass das verwendete Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.

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Das stimmt. Die \(\tan\)-Funktion wurde hier nur als Hilfsmittel verwendet. Das Ergebnis muss auf die ursprünglichen Teilnehmer, also \(\sin\) und \(\cos\), bezogen werden. Das solltest du übrigens in deiner Antwort vielleicht noch bemerken.

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Danke, habe es ergänzt.

Answer 2

Linearkombination von sin und cos:

    \(a \cos(x) + b \sin(x) = \mathrm{sgn}(a) \sqrt{a^2 + b^2} \cos\left(x + \arctan\left(-\frac{b}{a}\right)\right)\).

Dabei ist

        \(\mathrm{sgn}(x)=\begin{cases} -1&\text{falls } x \lt 0 \\0&\text{falls } x=0 \\1&\text{falls } x \gt 0 \end{cases} \)

Answer 3

sin(x) + cos(x) = 1,2 quadrieren:

(sin(x) + cos(x))² = 1,44

sin²x +2sin(x)cos(x)+cos²x = 1,44

sin²x +cos²x =1 nutzen

2sin(x)cos(x)=sin(2x)  nutzen

--> sin(2x) = 0,44

(Die auftretenden Lösungen müssen noch überprüft werden, weil durch das Quadrieren auch Scheinlösungen entstehen.)