Lineare Abbildung für Matrix finden

Question

Aufgabe:

Seif \( : \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) eine lineare Abbildung, für die gilt, dass
$$ f\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right), f\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right), f\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right), f\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) $$
1. Wie lautet die Matrix \( A, \) so dass \( \forall \vec{x} \in \mathbb{R}^{4}: f(\vec{x})=A \vec{x} ? \)

Ansatz/Problem:

Mein Ansatz wäre wie folgt wenn ich mit den Werten der letzten Funktion arbeite:

Die Matrix A muss 3x4 groß sein, weil x die Dimensionen 4x1 hat und das Ergebnis 3x1 groß sein soll.

Matrix A =  \( \begin{pmatrix} a & b & c & d\\ a & b & c & d\\a & b & c & d \end{pmatrix} \)

x = \( \begin{pmatrix} 1 \\1\\1\\1\end{pmatrix} \)

Ax=  \( \begin{pmatrix} 2 \\0\\2\end{pmatrix} \)

I: a + b + c + d = 2

II: a + b + c + d = 0

III: a + b + c + d = 2

wenn ich im ersten Term nach a auflöse bekomme ich:

a = - b - c - d + 2

Setze ich a nun in den zweiten Term ein bekomme ich

2 = 0

Weil es kein eindeutiges Ergebnis gibt würde ich jetzt einfach für b, c und d den Wert 1 benutzen und daraus den Wert für a berechen:

a = - 1 - 1 - 1 + 2 = -1

Also wäre meine Matrix A:

A= \( \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 1 & 1\\-1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Bloß wenn ich nun A mit x multipliziere bekomme ich für Ax den Vektor:

\( \begin{pmatrix} 2 \\2\\2\end{pmatrix} \)

anstelle von

\( \begin{pmatrix} 2 \\0\\2\end{pmatrix} \)

raus. Wo liegt mein Fehler?

Answer 1

Aloha :)

$$A=\left(\begin{array}{c}2 & 2 & 2 & 2\\2 & 2 & 2 & 0\\2 & 2 & 2 & 2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1 & 1\\-1 & 1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1 & 1\\1 & 1 & -1 & 1\end{array}\right)^{-1}$$$$\phantom{A}=\left(\begin{array}{c}2 & 2 & 2 & 2\\2 & 2 & 2 & 0\\2 & 2 & 2 & 2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}0,5 & -0,5 & 0 & 0\\0,5 & 0 & -0,5 & 0\\0,5 & 0 & 0 & -0,5\\-0,5 & 0,5 & 0,5 & 0,5\end{array}\right)$$$$\phantom{A}=\left(\begin{array}{c}2 & 0 & 0 & 0\\3 & -1 & -1 & -1\\2 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$

Answer 2

Wie lautet die Matrix , so dass ∀ \(\vec{x}\) ∈ ℝ⁴:f(\(\vec{x}\)) = A\(\vec{x}\)?

Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren.

Bestimme also \(f\left(\vec{e_1}\right)\), \(f\left(\vec{e_2}\right)\), \(f\left(\vec{e_3}\right)\) und \(f\left(\vec{e_4}\right)\) mit

        \(\vec{e_1} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{e_2} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{e_4} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{e_3} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\)

Comments

das mit Ax war lediglich ein Flüchtigkeitsfehler, wurde schon behoben.

wenn ich nun den Einheitsvektor (1, 0, 0) einsetze wie würde ich nun damit die Matrix A berechnen?

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Es gibt natürlich vier Basisvektoren, die abgbildet werden müssen, weil Definitionsbereich \(\mathbb{R}^4\) ist.

Stelle die Basisvektoren als Linearkombination der Vektoren dar, deren Bilder du kennst, also zum Beispiel

\(\vec{e_1} = \begin{matrix} 1\\0\\0\\0 \end{matrix} = p \begin{matrix} 1\\-1\\1\\1 \end{matrix} + q \begin{matrix} 1\\1\\-1\\1 \end{matrix} + r \begin{matrix} 1\\1\\1\\-1 \end{matrix} + s \begin{matrix} 1\\1\\1\\1 \end{matrix} \).

Aus den Koeffizienten kannst du dann die entsprechende Spalte von A berechnen:

\(f \left(\vec{e_1} \right) = p \begin{matrix} 2\\2\\2 \end{matrix} + q \begin{matrix} 2\\2\\2 \end{matrix} + r \begin{matrix} 2\\2\\2 \end{matrix} + s \begin{matrix} 2\\0\\2 \end{matrix} \).