Monotonieverhalten Vorgehen

Question

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Wir hatten heute im Unterricht das Thema Monotonieverhalten.

Unser Lehrer meinte, man muss eben die Funktion ableiten und anhand vom Schaubild der Ableitungsfunktion

kann man dann das Monotonieverhalten sehen.

Bei dem Schaubild der Ableitungsfunktion schaue ich eben, wo die Steigung positiv oder negativ ist.

Dementsprechend (wenn f´(x) >0 dann monoton steigend ; wenn f´(x)<0 dann monoton fallend)

Nun meine konkrete Frage hierzu:

Sobald sich die Ableitungsfunktion UNTERHALB der X-Achse befindet, ist sie monoton fallend.

Und wenn sie ÜBERHALB der X-Achse liegt, ist sie monoton steigend, stimmt das denken?

Natürlich muss man dann in einzelnen Intervallen betrachten, wenn sich die Funktion über die positive und negative x-achse befindet..

Und jenachdem, wenn die GANZE Ableitungsfunktion überhalb der X-Achse ist, ist sie streng monoton steigend

und wenn die ganze Ableitungsfunktion unterhalb der X-Achse ist, dann ist sie streng monoton fallend.

Answer 1

Sobald sich die Ableitungsfunktion UNTERHALB der X-Achse befindet, ist sie monoton fallend.

Und wenn sie ÜBERHALB der X-Achse liegt, ist sie monoton steigend, stimmt das denken?

Ja das stimmt soweit.

Und jenachdem, wenn die GANZE Ableitungsfunktion überhalb der X-Achse ist, ist sie streng monoton steigend

und wenn die ganze Ableitungsfunktion unterhalb der X-Achse ist, dann ist sie streng monoton fallend.

Genau. Man bestimmt die größtmöglichen Intervalle in denen eine Funktion streng monoton steigt bzw. fällt.

Wichtig dabei. Es könnte an einer einzelnen Stelle auch f'(x) = 0 gelten.

Z.B. ist f(x) = x^3 über ganz R streng monoton steigend obwohl f'(0) = 0 gilt.

Das sind aber kleine Spezialfälle die meist in der Schule nie so wirklich richtig erklärt und angesprochen werden.

Comments

Besten dank !

Gut, dass ich es einigermaßen verstanden habe.
Und es ist an sich dann egal, ob ich die Ausgangsfunktion oder die Ableitungsfunktion betrachte, es müssen immer die gleich Ergebnisse raus kommen oder?