Beweis von Linearität, Darstellungsmatrizen von πw1 , Eigenwerte und Eigenvektoren und Hintereinanderausführung

Question

Heyy, ich bin neu hier, weil ich dringend Hilfe brauche. Also ich habe eine Aufgabe, bei der ich mich sehr über eine ausführliche Antwort freuen würde :) ich bedanke mich schonmal im Voraus.

Sei K ein Körper und V ein eindlich dimensionaler Vektorraum über K. Betrachte eine  Zerlegung V = W₁ ⊕ W₂ für zwei nicht triviale Unterräume von V. Betrachte Sie folgende Abbildung:

π_w1 : V → W₁ , v = w₁ + w₂ ↦w₁.

(a) Zeigen Sie, dass π_w1 linear ist, dass ker(π_w1) = W₂ und dass π_w1 | _w1 = id.

(b) Sei w_1, ..., w_l eine Basis von W₁ und w_l+1, ... w_n eine Basis von W₂. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von π_w1 im Bezug auf diese Basis und geben Sie alle Eigenwerte mit der zugehörigen Eigenvektoren an.

(c) Da W₁ ein Unterraum von V ist, kann π_w1 auch als Abbildung V → V betrachtet werden.
Zeigen Sie, dass π_w1 ° π_w1 = π_w1 •.

Answer 1

Zeigen Sie, dass πw1 linear ist: Also muss gelten für alle u,v aus V

πw1 (u+v) = πw1 (u) + πw1 (v) .

Seien also  u,v aus V und es gibt w1 und w1'  aus W1 und

w2 und w2'  aus W2

u=w₁+w₂ und v=w₁'+w₂'

==>  u+v = w1+w1'+w2 + w2' . Weil W1 ein Unterraum ist, ist w1 + w1' auch aus W1,

also hast du π(u+v)= w1+w1' und π(u)=w1 und     π(v)=w1 '

also stimmt π_w1 (u+v) = π_w1 (u) + π_w1 (v) .

Entsprechend   πw1 (x*v) = x*πw1 (v)  für alle x aus K und v aus V.

Damit ist Linearität bewiesen.

Kern:  Das sind die v aus V mit  πw1 (v)  = 0 , also alle, die in der

Form v = 0 + w2 mit w2 aus W2 dargestellt werden, und das sind eben die

aus W2.  ==>     Kern = W2.

und die Einschränkung von π ausf W1 bedeutet ja:

Es werden nur Elemente aus W1 abgebildet, und die kann ma immer in

der Form v = w1+0 schreiben, das Bild ist also wieder das v, die

Einschränkung somit id.