Eigenwerte und Eigenvektoren Beweis

Question

Zeigen Sie, dass es für \( A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K}) \) ein Polynom \( p \in \mathbb{K}[t] \) gibt mit \( A^{-1}=p(A) \).

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Tipp: Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt \(r(A)=0\), wobei \(r(t)=\det(tI-A)\) das charakteristische Polynom von \(A\) ist. Außerdem ist \(\det(A)\ne0\).