Gleichmäßige Konvergenz von Reihe

Question

Man soll die gleichmäßige Konvergenz folgender Reihe zeigen: $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2\sqrt[n]{1+x^2}}$$ mit x eine Reelle Zahl. Komme leider gar nicht weiter.

Answer 1

Hallo,

Du kannst den Betrag der Summanden abschätzen durch \(\frac{1}{n^2}\) und die Reihe über \(\frac{1}{n^2}\) ist konvergent. Das Weierstraß-Kriterium sagt dann, dass die Reihe gleichmäßig konvergiert.

Gruß

Comments

Super danke! Ist mir echt eine Hilfe gewesen.

Answer 2

Aloha :)

Nach dem Konvergenzkriterium von Weierstraß reicht es zu zeigen, dass die Reihe der Supremumsnormen konvergiert:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\left|\frac{1}{n^2\sqrt[n]{1+x^2}}\right|_\infty=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\,\stackrel{(s.u.)}{<}\,2$$Das eigentliche Problem bei der Aufgabe ist also, die Konvergenz der erhaltenen Reihe zu zeigen. Dazu empfehle ich das Majorantenkriterium: Für \(n\ge2\) gilt:$$\frac{1}{n^2}\le\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\quad;\quad n\ge2$$Daher können wir die Summe von oben wie folgt abschätzen:$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=1+\sum\limits_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)$$$$\quad=1+\left[\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\right]$$$$\quad=1+1-\frac{1}{n}<2$$

Comments

Okay danke. Aber kann ich nicht einfach sagen dass die Reihe $$ \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$ ist? 

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Lol, ja das kann man "einfach" sagen, wenn man es weiß. Aber dann braucht man die Aufgabe eigentlich nicht zu rechnen, denn das Weglassen der Wurzel im Nenner war sicher nicht die Schwierigkeit bei der Aufgabe ;)

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Okay danke kenn mich jetzt aus :)