Summe von trigonometrischen Reihe (Fourierreihe?)

Question

Hallo, ich ein Beispiel bei dem gerade komplett anstehe. Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.

Ich habe gegeben, dass $$cosh(z) = \frac{e^z+e^{-z}}{2} = \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}$$ und z ist eine komplexe Zahl. Gesucht ist nun die Summe der trigonometrischen Reihe:

$$\sum _{n=0}^{\infty }\:\frac{cos\:2nt}{\left(2n\right)!}$$

Als hinweis ist noch gegeben, dass man die Reihe als Realteil auffassen soll. Aber habe ich dann nicht eigentlich ein Komplexe zahl mit Im(z) = 0 und somit als Summe wieder cosh(z)?

Ich bin hier leider sehr verwirrt, da wir vor allem auch gerade beim Kapitel Fourierreihen sind. Aber vielleicht hat es damit auch etwas zu tun. Danke für jede Hilfe schon mal im Voraus!

Answer 1

Setze doch Mal \(z = e^{it}\) und bilde den Realteil davon.

Comments

Das habe ich mir auch gedacht dann habe ich ja: $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{e^{2nit}}{(2n)!}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{cos(2nt)+isin(2nt)}{(2n)!}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(cos(t)+isin(t))^{2n}}{(2n)!}$$ aber wie komm ich da jetzt weiter? Der Realteil davon ist dann ja $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{cos(2nt)}{(2n)!}$$ aber was hilft mir das?

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$$  \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{e^{2nit}}{(2n)!}= \operatorname{Re} \left[ \cosh \left(e^{it} \right) \right]$$

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Super danke!

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weißt du ob ich das noch irgendwie berechnen kann oder ist das schon das Ergebnis?