Konvergenz einer Unstetigkeitsstelle in der Fourierreihe

Question

Aufgabe: Konvergenzverhalten von x1=\( \frac{π}{2} \) und x₂=π der geraden Funktion Piecewise[{{0,0 <= x < (pi/2)},{1,pi/2<x<pi}}] , mit der Periode T=2π bestimmen.

Problem/Ansatz:

Fourierentwicklung hab ich schon gemacht. Mein Problem ist jetzt, dass ich keine einheitliche Lösungsmethode für Lücken oder Sprungstellen habe. Wir haben im Seminar 1x ein solches Bsp. gerechnet und das war nicht wirklich verständlich, ebenso finde ich im Internet keine schöne Antwort/Lösung für mein Problem. Daher würde ich hier sehr gerne erfragen wie man das Konvergenzverhalten dieser Stellen berechnet. x1 ist hierbei eine Lücke und x₂ eine Sprungstelle.

Comments

Hallo,

Du hast mit Deiner Piecewise-Definition den Berech \(0 \leq x \leq \pi\) abgedeckt. Was gilt auf dem Rest, wenn die Periode \(2\pi\) sein soll?

Im übrigen spielen "Lücken" bei Fourier-Reihen keine Rolle. Bei \(\pi/2\) liegt ein Sprung von 0 auf 1 vor.

Gruß Mathhilf

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Entschuldigung. Meine erste Frage war überflüssig, ich habe "gerade" überlesen.

Answer 1

Ich vermute, da die Funktion gerade ist, sieht sie so aus

Und wird dann periodisch fortgesetzt, z.B. so

Die Fourierkoeffizienten berechnen sich dann so

Und die Fourierreihe so

Für z.B. \( N = 10 \) ergibt sich dann folgendes Bild