Gleichmäßige Konvergenz von x^{1/n} auf [0,∞)

Question

Ich habe gerade ein ca. 1 1/2 seitiges Kapitel über gleichmäßige Konvergenz durchgelesen und wollte fragen, ob man $$f_n:[0,∞)->\mathbb{R}~mit~f_n(x)=\sqrt[n]{x} $$ wie folgt darauf untersuchen kann:

$$ \text{Definition: } \forall \epsilon>0: \exists n_{\epsilon,x}: \forall n \geq n_{\epsilon,x} \wedge \forall x \in U:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon $$

Also, die Grenzfunktion ist ja \( f(x) = 1 \). Es sei \( \epsilon :=2,~x:=5^{n_{\epsilon,x}},~n:=n_{\epsilon,x} \text{ und } n_{\epsilon,x} \text{ beliebig }. \)

$$ |f_n(x)-f(x)|=5-1=4>2  $$

Folglich ist \( f_n \) nicht gleichmäßig konvergent auf [0,∞).

Ich bin mir einfach bei der ganzen Sache etwas unsicher, da bei ähnlich simplen Beispielen im Skript Werte für n gewählt wurden, die zwar funktioniert haben aber mir unnötig komplex vorkamen. Es wäre also sehr nett wenn jemand über die Aufgabe kurz drüber schauen könnte, sodass ich nicht irgendeinen Verständnisfehler mit ins nächste Kapitel nehme .

Comments

Also, die Grenzfunktion ist ja f(x)=1.

Also bei mir ist immer \(\sqrt[n]{0}=0\).

Ausserdem ist Dein Quantorensalat ungeniessbar. Schreib das lieber ohne Quantoren auf.

\(n_{\epsilon,x}\) kannst Du auch unmoeglich schreiben. Das suggeriert ja, dass diese Groesse von \(x\) abhaengt, was sie eben gerade nicht tut (Pointe der glm. Konvergenz).

Abgesehen davon steckt in der simplen Rechnung \(f_n(5^n)-f(5^n)=4\) die wesentliche Idee drin, warum die Konvergenz auf \([0,\infty)\) nicht glm. sein kann. Das muesstest Du aber dann selber ausfuehren.

Answer 1

Hallo

 du kannst nicht in f_n(x)  x=5^n wählen! du musst ein beliebiges x wählen, und dann n so groß machen, dass |f_n(x)-1|<ε ist , also etwa x=10^{70} oder x=10^{-70} oder ganzbeliebig, aber nicht von n abhängig. n musst du dann abhängig von x und ε bestimmen, dann hast du erstmal die punktweise Konvergenz. Gleichmäsige Konvergenz hast du nicht richtig definiert, dabei darf N(ε) nicht von x abhängen siehe etwa in wiki oder deinem Skript, aber du findest hier kein N für alle x , die beliebig nahe an 0 sind , nur wenn das Def Gebiet  [r,oo) mit r>0 ist ist de fkt glm. stetig.