Konvergierende Folge? und Grenzwert? x0 := 5, x1 := 1 und xn+1 := 2/3 xn + 1/3 xn−1 für n ∈ N.

Question

Die Folge (xn)_n∈N0 sei rekursiv definiert durch x₀ := 5, x₁ := 1

und x_n+1 := 2/3 x_n + 1 x_n−1 für n ∈ N.

Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Hinweis: Betrachten Sie zuerst x_n+1 − x_n und leiten Sie dafür einen Ausdruck her.

 

Hat wer eine Lösung hierzu?

Comments

Eine Möglichkeit wäre, eine explizite statt rekursive Definition zu finden, die gleich der rekursiven Definition ist. Von der kannst du dann zeigen, dass die beiden Definitionen gleich sind und von der explizit definierten Folge den Grenzwert bestimmen.

Also als einfaches Beispiel $$a_1 := 1, a_n := a_{n-1} + 1, n \ge 2$$

Da ist dann

a_1 = 1

a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2

a_3 = 2 + 1 = 3

a_4 = 3 + 1 = 4

Da wäre eine explizite Definition: $$b_1 := 1, b_n := n, n \ge 2$$

Soetwas versuche ich gerade hier https://www.mathelounge.de/71406/gleichheit-rekursiv-explizit-definierten-folge-beweisen

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Verstehe ich nicht, wo hast du 1,2,3,4 denn eingesetzt?

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Wenn $$a_n := a_{n-1} + 1$$ ist z.B. $$a_3 = a_{3-1} + 1 = a_2 + 1$$

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ah oki also muss ich hier 1,2,3 einsetzen? xn+1 := 2/3 xn + 1 xn−1

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Keiner da der helfen kann?

Answer 1

$$x_0:=5;x_1:=1;x_{n+1}=\frac23x_n+\frac13x_{n-1}.$$Für \(n>0\) ist$$x_{n+1}-x_n=\frac23x_n+\frac13x_{n-1}-x_n=-\frac13(x_n-x_{n-1}).$$Induktiv folgt$$x_{n+1}-x_n=\left(-\frac13\right)^n(x_1-x_0)=-4\left(-\frac13\right)^n$$und damit$$x_{n+1}-x_1=\sum_{k=1}^n(-4)\cdot\left(-\frac13\right)^n=1-\left(-\frac13\right)^n,$$wobei die Summenformel für die geometrische Reihe benutzt wurde. Es folgt$$x_{n+1}=2-\left(-\frac13\right)^n.$$Damit ist der Grenzwert der Folge gleich 2.